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이차함수의 그래프를 보고 $y=ax^2+bx+c$를 구하는 유형은 2가지가 있습니다. 

 

첫째는 꼭짓점의 좌표를 아는 경우, 둘째는 x절편을 아는 경우

 

두 유형의 문제를 직접 풀어보면서 설명하도록 하겠습니다. 

 

1. 꼭짓점의 좌표를 아는 경우

꼭짓점의 좌표가 $(-3,-4)$이므로 이차함수를 표준형으로 나타낼 수 있습니다. 

$y=a(x+3)^2-4$

이때 꼭짓점을 기준으로 아래로 볼록인지, 위로 볼록인지, 폭은 좁은지 넓은지에 대한 모든 정보가 미지수 $a$의 값에 따라 결정되므로($a$는 모양을 결정)이 값을 구하기 위한 식이 하나가 더 필요한데, 그래프를 보면 $y$절편이 $2$라는 걸 알 수 있습니다. 

따라서 $(0,2)$를 이용하면,

$2=a(0+3)^2-4$

$2=9a-4$

$6=9a$

$a=\dfrac{2}{3}$

 

따라서 이차함수식은 $y=\dfrac{2}{3}(x+3)^2-4$이고 이를 전개하면

$y=\dfrac{2}{3}x^2+4x+2$

이고, $y=ax^2+bx+c$와 계수비교를 하면, 

$a=\dfrac{2}{3}$, $b=4$, $c=2$이며 $a+b+c=\dfrac{20}{3}$입니다. 

 

 

2. $x$절편을 아는 경우

 

만약 이차함수의 그래프가 $x$축과 $p,\ q$에서 만난다고 하면, 이차함수식을 이렇게 만들수 있습니다. 

$y=a(x-p)(x-q)$

왜냐하면 위 식의 $x$에 $p$를 대입하면 무조건 $y=0$이 되므로 $(p,0)$를 반드시 지나는 이차함수이며, 이는 $x$절편이 $p$라는 것으로 해석할 수 있기 때문입니다. 

문제를 풀어보면, 

$x$절편이 $-1,\ 2$이므로 이차함수식은 다음과 같습니다. 

$y=a(x+1)(x-2)$

이때, 미지수 $a$의 값을 구하기 위해 $y$절편이 $5$임을 이용하면, 

$5=a(0+1)(0-2)$

$5=-2a$

$a=-\dfrac{5}{2}$

따라서 그래프의 함수식은 $y=-\dfrac{5}{2}(x+1)(x-2)$입니다.

 

 

이렇게 이차함수의 그래프를 보고 함수식을 구하는 두 가지 유형에 대해 알아보았습니다. 

위에서 풀이한 문제와 같은 유형의 문제를 연습하고 싶으시면, 모두매쓰를 이용하시기 바랍니다. 

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그럼 오늘도 즐거운 하루되세요

 

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