중등 2학년 수학 > 일차함수 > 두 직선의 교점과 연립방정식의 해 연습문제 프린트 학습지

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이번에 다룰 내용은 사실 너무 중요해요. 바로 연립방정식의 해와 두 함수의 그래프의 관계에 대한 내용인데요,
함수의 종류가 바뀌더라도 원리는 변하지 않기 때문에 개념 자체의 중요성은 Top of Top입니다.

쉽게 그림으로 설명을 하도록 할게요.

여기에 일차함수 $f (x)$ 가 있다고 해볼게요. 기울기는 양수이고, $y$ 절편도 양수인데요, 이 함수에 추가로 함수 하나를 더 그려볼게요.

두 함수가 한 점에서 만나고 있어요. 우리는 이것을 '교점'이라고 부릅니다. 교점에서 교(交)는 한자말로 '사귀다, 만나다'라는 뜻을 지니고 있어요. 우리말로 풀이하면 '만나는 점'이 됩니다. 여기서 과연 교점에서 무슨 일이 일어나고 있느냐가 이 글의 핵심입니다.

교점의 좌표를 만약 $(p, q)$ 라고 하면,

위 그래프와 같이 나타낼 수 있습니다. 여기서 $x$ 의 좌표가 $p$ 일 때 $f (x)$ 의 함수값은 $q$ 인데요,
식으로 나타내면,
$f (p) = q$
입니다. 마찬가지로 $x$ 의 좌표가 $p$ 일 때, $g (x)$ 의 함수값은
$g (p) = q$
입니다. 두 함수값이 같으므로
$f (p) = g (p)$ 이 성립한다는 것을 찾아냈어요.

응? 당연한건 왜?

라고 질문할 수 있어요. 네 맞아요 당연하죠. 그런데, 여기서 중요한 것은

그래프를 해석하여 성립하는 등식을 찾아냈다.

가 중요한 포인트예요!

방정식을 통해 함수의 그래프의 상황을 설명할 수 있는 거랍니다.

예를 들어,
$y = f (x)$ 와 $y = g (x)$ 가 과연 교점을 가질까요? 교점을 가진다면 그 점은 어디에 있을까요? 라는 질문을 누가 했다고 하면,

에이 뭘 그런걸, 그냥 두 함수의 그래프를 그려보면 돼!

라고 하고 그냥 슥슥 그래프를 그리면 되겠죠?
만약 누군가가 그래프를 다음과 같이 그렸다고 가정해볼게요.

그래프 그리긴 했는데, 교점의 좌표가 정확하게 무엇인지 알 수가 없어요. 왜냐하면 기울기와 y절편으로 그렸기 때문이죠. 그렇다고 교점이 무엇인지 말해주진 않거든요.
다시 아까 그림을 가져와서 보면,

방정식을 통해 교점의 좌표를 구할 수 있다는 걸 알 수 있어요.
따라서
$f (x) = g (x)$ 라는 방정식을 세워서 $x$ 를 구하는거에요.

만일 $y = f (x) = x - 2$ 이고 $y = g (x) = - \frac{1}{2} x + 4$ 라고 한다면,

$x - 2 = - \frac{1}{2} x + 4$ 라는 방정식을 세워서 $x$ 를 구하면 그게 교점의 $x$ 좌표가 되는거에요.
양변에 $2$ 를 곱하면,
$2 (x - 2) = 2 \times - \frac{1}{2} x + 4$
$2 x - 4 = - x + 8$
$3 x = 12$
$x = 4$

위 과정을 그림으로 나타내면 다음과 같습니다.

교점의 $x$ 좌표는 두 함수식인 $y = x - 2$ 와 $y = - \frac{1}{2} x + 4$ 의 '연립방정식의 해' 중 $x$ 의 값입니다.
$y$ 가 공통이므로 $x - 2 = - \frac{1}{2} x + 4$ 와 같이 대입법으로 문제를 푼 것이죠.
$x = 4$ 이므로 이 값을 다시 함수식에 대입하면, $y$ 의 값을 구할 수 있습니다.

따라서 결국 교점의 좌표는 $(4, 2)$ 로서 구하였습니다. 교점을 각각의 함수식에 대입하면, $(4, 2)$ 를 만족한다는 것을 확인할 수 있어요.

이렇게 두 직선의 함수의 그래프의 교점과 두 함수식의 연립방정식의 해가 같다는 것을 의미한다는 것을 공부했습니다.
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[모두매쓰 생성 연습문제 예시]