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정비례
의 값이 배, 배, 배, 일 때, 의 값도 배, 배, 배, 가 되는 관계 또는 관계식입니다.
정비례처럼 보이지만 정비례가 아닌 경우는 의 값이 증가할 때, 의 값이 증가하지만 정확히 '정'비례하지 않은 경우입니다. 가령, 의 값이 배, 배, 배가 될 때, 의 값이 배, 배, 배와 같이 제곱을 한만큼 늘어나면, 둘다 증가하지만, '정'비례는 아닙니다.
반비례
의 값이 배, 배, 배, 일 때, 의 값도 배, 배, 배, 가 되는 관계 또는 관계식입니다.
반비례는 의 증가율과 의 증가율의 값을 곱하면 항상 이 되는 비율관계입니다. 위에서 보는 것처럼 가 2배 증가하면 는 배 증가하므로 곱하면 이고, 가 3배 증가하면 는 증가하므로 곱하면 마찬가지로 이 됩니다.
정비례 관계식
정비례 관계식은 위와 같은 형태를 말하며, 예를 들면, , , , 등이 있습니다. 이때 체크할 부분은 가 나란히 곱해진다는 것입니다. 만약 가 있다면 정비례가 맞습니다. 왜냐하면 와 같이 변형할 수 있기 때문입니다. 반면 은 정비례가 아닙니다. 왜냐하면 가 분모에 있기 때문입니다. 정리하면 분수모양에 가 있을 때에는 분자에 가 있어야 됩니다.
반비례 관계식
반비례 관계식은 분모자리에 가 있다는 것이 특징입니다. 양변에 를 곱하게 되면, 와 같은 모양이 되는데 이것도 반비례 관계식의 변형식 중 하나라는 것도 체크하시기 바랍니다. 와 의 곱이 일정한 값()을 가진다고 하면 반비례 관계식입니다.
정비례 그래프
정비례 그래프는 를 만족하는 순서쌍 의 점들을 좌표평면에 표시한 것입니다. 정비례 그래프는 원점을 지나는 직선 모양인데요, 정비례 그래프가 반드시 원점을 지나는 이유는 바로 을 식에 대입하면 반드시 성립하기 때문입니다. (에 을 대입하면 성립)
의 값은 기울기를 나타내고, 가 양수이면 오른쪽 위를 향하는 그래프, 가 음수이면 오른쪽 아래를 향하는 그래프가 되며, 의 절댓값의 크기가 클수록 기울기는 가파릅니다.(또는 축에 가까워집니다.)
반비례 그래프
반비례 그래프는 를 만족하는 순서쌍 의 점들을 좌표평면에 표시한 것입니다.
반비례 그래프는 원점 대칭인 쌍곡선 모양을 가지며, 가 양수이면 제1, 3사분면을, 가 음수이면 제 2, 4사분면을 지납니다. 쌍곡선 그래프는 축과 축에 한없이 가까이 다가가는데요, 축과 축을 점차적으로 근접하는 선이라고 하여 점근선이라 부릅니다.
그럼 정비례와 반비례 연습문제를 몇 개 풀어보도록 하겠습니다.
문제1)
원점을 지나는 직선이므로 '정비례 관계식'입니다. 라고 일단 식을 세운 다음 에 해당하는 점을 지나므로 을 정비례 관계식에 대입합니다.
이렇게 구한 의 값을 에 대입하여 정비례관계식을 완성시키면
입니다.
문제2)
제 2, 4사분면을 지나는 원점에 대칭인 쌍곡선이므로 '반비례 관계식'입니다. 반비례 관계식은 라고 먼저 식을 세운 다음, 곡선이 지나는 점(=곡선 위의 점)을 식에 대입하며 미지수 의 값을 구합니다.
위 그래프에서는 과 을 지나는 정보가 있으므로 두 점 중 아무 점이나 대입합니다.
을 반비례 관계식 에 대입하면,
이렇게 구한 의 값을 원래 식에 대입하면 반비례 관계식이 완성됩니다.
이렇게 하여 정비례와 반비례 관계에 대한 개념를 학습하고 연습문제를 풀어보았습니다.
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