본문 바로가기

중등 수학 프린트

중등 1학년 수학 > 정비례와 반비례 > 정비례의 개념과 그래프 연습문제 프린트 학습지

중등 1학년 수학 > 정비례와 반비례 > 정비례와 반비례의 개념과 그래프 연습문제 프린트 학습지

 

정비례

x의 값이 2배, 3배, 4배, 일 때, y의 값도 2배, 3배, 4배, 가 되는 관계 또는 관계식입니다.

정비례처럼 보이지만 정비례가 아닌 경우는 x의 값이 증가할 때, y의 값이 증가하지만 정확히 '정'비례하지 않은 경우입니다. 가령, x의 값이 2배, 3배, 4배가 될 때, y의 값이 4배, 9배, 16배와 같이 제곱을 한만큼 늘어나면, 둘다 증가하지만, '정'비례는 아닙니다. 

반비례

x의 값이 2배, 3배, 4배, 일 때, y의 값도 12배, 13배, 14배, 가 되는 관계 또는 관계식입니다.

반비례는 x의 증가율과 y의 증가율의 값을 곱하면 항상 1이 되는 비율관계입니다. 위에서 보는 것처럼 x가 2배 증가하면 y12배 증가하므로 곱하면 1이고, x가 3배 증가하면 y13증가하므로 곱하면 마찬가지로 1이 됩니다. 

정비례 관계식

y=ax (a0)

 

정비례 관계식은 위와 같은 형태를 말하며, 예를 들면, y=x, y=3x, y=x, y=13x 등이 있습니다. 이때 체크할 부분은 x가 나란히 곱해진다는 것입니다. 만약 y=x3가 있다면 정비례가 맞습니다. 왜냐하면 y=x3=13×x=13x와 같이 변형할 수 있기 때문입니다. 반면 3x은 정비례가 아닙니다. 왜냐하면 x가 분모에 있기 때문입니다. 정리하면 분수모양에 x가 있을 때에는 분자에 x가 있어야 됩니다. 

 

반비례 관계식 

y=ax

반비례 관계식은 분모자리에 x가 있다는 것이 특징입니다. 양변에 x를 곱하게 되면, xy=a와 같은 모양이 되는데 이것도 반비례 관계식의 변형식 중 하나라는 것도 체크하시기 바랍니다. xy의 곱이 일정한 값(a)을 가진다고 하면 반비례 관계식입니다. 

 

정비례 그래프

정비례 그래프는 y=ax를 만족하는 순서쌍 (x,y)의 점들을 좌표평면에 표시한 것입니다. 정비례 그래프는 원점을 지나는 직선 모양인데요, 정비례 그래프가 반드시 원점을 지나는 이유는 바로 x=0, y=0을 식에 대입하면 반드시 성립하기 때문입니다. (y=axx=0, y=0을 대입하면 0=a×0 성립)

a의 값은 기울기를 나타내고, a가 양수이면 오른쪽 위를 향하는 그래프, a가 음수이면 오른쪽 아래를 향하는 그래프가 되며, a의 절댓값의 크기가 클수록 기울기는 가파릅니다.(또는 y축에 가까워집니다.)

 

반비례 그래프

반비례 그래프는 y=ax를 만족하는 순서쌍 (x,y)의 점들을 좌표평면에 표시한 것입니다. 

반비례 그래프는 원점 대칭인 쌍곡선 모양을 가지며, a가 양수이면 제1, 3사분면을, a가 음수이면 제 2, 4사분면을 지납니다. 쌍곡선 그래프는 x축과 y축에 한없이 가까이 다가가는데요, x축과 y축을 점차적으로 근접하는 선이라고 하여 점근선이라 부릅니다. 

 

그럼 정비례와 반비례 연습문제를 몇 개 풀어보도록 하겠습니다. 

 

문제1)

원점을 지나는 직선이므로 '정비례 관계식'입니다. y=ax라고 일단 식을 세운 다음 (5,3)에 해당하는 점을 지나므로 x=5, y=3을 정비례 관계식에 대입합니다. 

3=a×5

a=35

이렇게 구한 a의 값을 y=ax에 대입하여 정비례관계식을 완성시키면

y=35x

입니다. 

 

문제2)

 

 

제 2, 4사분면을 지나는 원점에 대칭인 쌍곡선이므로 '반비례 관계식'입니다. 반비례 관계식은 y=ax라고 먼저 식을 세운 다음, 곡선이 지나는 점(=곡선 위의 점)을 식에 대입하며 미지수 a의 값을 구합니다. 

위 그래프에서는 (5,1)(5,1)을 지나는 정보가 있으므로 두 점 중 아무 점이나 대입합니다. 

x=5, y=1을 반비례 관계식 y=ax에 대입하면, 

1=a5

a=5

이렇게 구한 a의 값을 원래 식에 대입하면 반비례 관계식이 완성됩니다. 

y=5x=5x

 

 

이렇게 하여 정비례와 반비례 관계에 대한 개념를 학습하고 연습문제를 풀어보았습니다. 

더 많은 연습문제를 풀고 싶은 분께 '모두매쓰' 사이트를 추천드립니다. 

모두매쓰는 수학 문제를 무제한으로 생성하여 프린트할 수 있는 학습 사이트입니다. 

위에서 제시한 연습문제는 모두매쓰에서 생성한 문제입니다. 

 

[모두매쓰 생성 연습문제]

 

 

중등 1학년 수학 > 정비례와 반비례 > 정비례와 반비례의 개념과 그래프 연습문제 프린트 학습지