중등 2학년 수학 > 일차부등식 > 연립일차부등식이 해를 갖지 않도록 하는 a의 범위 구하기 연습문제 프린트 학습지

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일차부등식 문제 중에서 많은 학생들이 헷갈려하고 혼동하는 문제 유형이 있습니다.

바로 미지수 $a$의 범위 구하기 문제인데요,

문제를 풀면서 설명하도록 하겠습니다.

문제)

풀이)

먼저 각각의 일차부등식의 해를 구하면,

첫번째 부등식은

$2x-2≥-x+5$

$2x+x≥5+2$

$3x ≥7$

$x ≥\dfrac{7}{3}$

두번째 부등식은

$x-a>4(x-1)$

$x-a>4x-4$

$x-4x>-4+a$

$-3x>-4+a$

$x<\dfrac{-4+a}{-3}$

$x<\dfrac{4-a}{3}$

입니다.

수직선 위에 첫번째 일차부등식의 해를 나타내면 다음과 같습니다.

이때, 두번째 일차부등식의 해가 첫번째 일차부등식의 해와 공통 부분이 생기면 연립일차부등식의 해가 존재하고, 반대로 공통 부분이 없으면 연립일차부등식의 해를 갖지 않습니다.

문제에서는 해를 갖지 않는 조건을 구하므로, 어떻게든 두번째 일차부등식의 해가 첫번째 일차부등식의 해와 공통부분이 없는 곳에 위치해야 합니다.

그럼 몇 가지 경우를 살펴보면서 $\dfrac{4-a}{3}$가 어느 범위에 위치해야 하는지 알아보겠습니다.

만약 $\dfrac{4-a}{3}$의 값이 $\dfrac{7}{3}$보다 오른쪽에 위치한다면, 공통 부분을 가질까요?

두번째 부등식을 잘 보시면, $x<$라고 되어 있습니다. 즉 $\dfrac{4-a}{3}$는 포함하지 않으면서 작은 범위이므로 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

이 그림에 의하면 해는 $\dfrac{7}{3}≤x≤\dfrac{4-a}{3}$가 됩니다. 즉 해를 갖지 않기 위한 조건이 아닙니다.

그럼 $\dfrac{4- a}{3}$는 수직선의 어느 곳에 대응해야 할까요? 다음 그림을 보시면,

이 경우에는 공통 부분이 없으므로 해를 갖지 않습니다.

그렇다면 $\dfrac{4-a}{3}$의 값이 $\dfrac{7}{3}$보다 왼쪽에 있으면(작으면) 문제의 조건을 만족한다는 것을 알 수 있습니다.

여기서 가장 많이 혼동하는 포인트가 있습니다. 바로, $\dfrac{4-a}{3}=\dfrac{7}{3}$일 경우에 문제의 조건을 만족하느냐입니다. 즉, 연립부등식의 해를 갖는냐(공통해를 가지느냐) 그렇지 않느냐입니다.

점점 근접하다가 $\dfrac{4-a}{3}=\dfrac{7}{3}$가 되었을 때를 생각해봅니다. 과연 이 경우 공통부분이 존재할까요? 아니면 존재하지 않을까요. 이것이 정답을 가르는 중요한 키가 됩니다.

주목해야하는 부분은 여기입니다.

같은 위치라고 가정할 때, 과연 공통의 값을 가질까요?

정답은 '아니다'입니다. 왜냐하면 첫번째 부등식의 해는 $\dfrac{7}{3}$을 포함하지만, 두번째 부등식의 해는 $\dfrac{4-a}{3}$을 포함하지 않기 때문입니다.

다시말해 수직선 위의 같은 위치에서 첫번째 부등식의 해는 존재하지만, 두번째 부등식의 해는 존재하지 않으므로, 공통으로 존재하지 않는다.

공통으로 존재해야 공통의 해, 즉 연립부등식의 해가 될 수 있습니다.

따라서 연립부등식의 해를 갖지 않기 위해서는

따라서 $\dfrac{4-a}{3}≤\dfrac{7}{3}$를 만족해야 합니다.

왜 등호가 포함되었을까요? 왜냐하면 위 그림처럼 같은 곳까지 위치하더라도 해를 갖지 않기 때문에 $\dfrac{4-a}{3}$가 $\dfrac{7}{3}$까지 갈 수 있기 때문입니다.

그럼 마무리 단계로 부등식을 정리하면,

$\dfrac{4-a}{3}≤\dfrac{7}{3}$

$4-a≤7$

$-3≤a$

이렇게 해서 연립일차부등식이 해를 갖지 않을 조건을 가질 때, 미지수 $a$의 범위를 구하는 문제를 풀어보았습니다.

부등식에 등호가 포함되는지, 포함되지 않은지에 따라서 수직선에 나타낼 때에도 다르게 표현하는 점도 잘 체크하시기 바랍니다.

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그럼 오늘도 좋은 하루되세요.

[모두매쓰 생성 연습문제]