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중1 수학 > 절댓값의 정의(뜻), 잘못된 개념 고등까지 간다 중학교 수학에서 갑자기 등장하는 것이 두 가지가 있어요. 하나는 문자, 또하나는 절댓값 기호예요.이 두 가지가 연산을 어렵게 만드는 양대산맥이라고 할 수 있는데요, 특히 절댓값 기호는 잘못 가르치는 사람들이 많아서 아이들이 정확한 개념을 모르고 학습을 하다가 수포자의 길로 가는 경우가 많아요. 그래서 정확한 개념의 뜻을 알고 공부할 수 있는 것을 목표로 공부해볼게요.​절댓값의 정의(뜻)​절댓값이란 어떤 수를 수직선 위의 점으로 대응시켰을 때, 원점으로부터 그 점까지의 거리예요.만일 -3과 6이라는 수가 수직선 상에 놓여져있는 경우라면 -3은 원점으로부터의 거리가 3이므로 -3의 절댓값은 3, 6은 원점으로부터의 거리가 6이므로 6의 절댓값은 6이에요..​그래서 절댓값 기호가 포함된 문제를 풀다보니 세 가..
중등 3학년 수학 > 대푯값과 산포도 > 표준편차 공식, 연습문제 프린트 학습지 중등 3학년 수학 > 대푯값과 산포도 > 표준편차 공식, 연습문제 프린트 학습지 표준편차표준편차란 평균으로부터 자료의 흩어진 정도를 나타내는 분산을 구했을 때, 그 값의 양의 제곱근값입니다.  분산 분산이란 평균으로부터 자료의 흩어진 정도를 나타내는 값입니다.  $분산=편차^2의 평균$$표준편차=\sqrt{분산}$ 평균이라는 말은 어떠한 자료들을 모두 더한 다음 자료의 개수로 나누는 것을 말하는데요, 분산에 있어서 자료란 이미 편차들을 제곱한 상태로서의 자료를 말합니다.  분산 구하는 순서1. 평균을 구한다(=모두 더하고 개수로 나눈다)2. 편차들을 구한다.3. 편차들을 각각 제곱한다.4. 평균을 구한다.(=모두 더하고 개수로 나눈다) 평균은 쉽게 말해 자료들을 모두 더하고 자료의 개수로 나누는 것을 말..
중등 3학년 수학 > 대푯값과 산포도 > 분산 공식, 연습문제 프린트 학습지 중등 3학년 수학 > 대푯값과 산포도 > 분산 공식, 연습문제 프린트 학습지 분산분산이란 평균으로부터 자료의 흩어진 정도를 나타낸 값입니다. 분산 공식은 아래와 같습니다.  $분산=편차^2의 평균$ 그럼 분산 문제를 하나 풀어보도록 할게요. 분산을 구하기 직전에 먼저 각각의 변량에 대한 편차값이 있어야 하는데요, 야구선수D의 편차는 $x$로 되어 있습니다. 편차들의 총합은 언제나 $0$이므로$-7+4+5+x-3=0$$x=1$다음으로 분산은 편차 제곱의 평균이므로 각각의 편차를 제곱한 다음 평균을 계산해야 합니다. 따라서 각 편차를 제곱하면 편차 제곱$49\ \  16\ \  25\ \  1\ \  9$편차 제곱의 평균$\dfrac{49+16+25+1+9}{5}=20$따라서 분산은 $20$입니다.  중등 ..
중등 3학년 수학 > 대푯값과 산포도 > 편차의 개념과 성질, 연습문제 프린트 학습지 중등 3학년 수학 > 대푯값과 산포도 > 편차의 개념과 성질, 연습문제 프린트 학습지 편차편차란 변량$-$평균을 뜻합니다. 변량이란 개별 자료의 값입니다. 가령 다음과 같은 자료가 있을 때,$$1\ \ 2\ \ 5\ \ 7\ \ 10$$ 이 다섯 개의 자료의 각각을 변량(변화하는 양의 줄임말이라고 보면됨)이라 부르고, 편차는 이러한 변량마다 평균을 뺀 값을 가리켜요.우선 평균을 구하면 $\dfrac{1+2+5+7+10}{5}=5$예요. 이제 각각의 편차를 구할 수 있게 되었어요. 편차$=$변량-평균이므로변량125710편차-4-3025 편차 개념에서 주의할 부분은 뺄셈의 순서예요. 변량이 앞에오고 평균이 뒤에 옵니다. 또한 편차는 양수 뿐만 아니라 0과 음수가 될 수도 있어요. 각각의 변량마다 편차가 모두..
고등 수학II > 미분법 > 도함수의 정의와 미분법 공식, 연습문제 프린트 학습지 고등 수학II > 미분법 > 도함수의 정의와 미분법 공식, 연습문제 프린트 학습지 도함수도함수란 $y=f(x)$를 도함수의 정의에 의하여 구한 함수입니다. $$f'(x)=\lim_{ h→0}{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$ 도함수는 미분계수를 모든 실수 $x$에 대하여 함수화시킨 것인데요, $x$에 임의의 값을 대입하면 곧바로 접선의 기울기값을 말해주기 때문에 아주 효율적인 함수입니다.  도함수의 정의는 많은 공식들을 증명할 때 사용되는데요, 특히 $y=x^n$이라는 다항함수를 미분하는 공식을 만들 수 있어요. 먼저 공식을 살펴보고, 증명을 하도록 하겠습니다.  $y=x^n $ (n은 자연수)와 상수함수의 도함수 증명 $f(x)=x^n$이라 하면$f'(x)=\lim_{h→0}{\dfrac{..
중등 1학년 수학 > 엇각 쉽게 찾는 2가지 방법, 연습문제 프린트 학습지 중등 1학년 수학 > 엇각 쉽게 찾는 2가지 방법, 연습문제 프린트 학습지오늘은 엇각을 잘 찾는 기묘한 방법에 대해 이야기를 하려해요. 엇각은 엇갈리는 느낌의 각(?)이라고 보면 얼추 맞는데요,다음 그림을 보면 엇각이 어떤 건지 느낌을 가질 수 있어요. 엇각이 무조건 각의 크기가 같은건 아니라는 것 아시죠?네? 엇각은 무조건 크기가 같은거 아닌가요?네. 엇각은 각의 위치를 말할 뿐 각의 크기에 대해서는 아무말도 하지 않아요. 우리가 엇각의 크기가 같다고 하는 건 특별한 경우에 한해서랍니다. 위 그림을 보면 모두 엇각이지만 각이 같은 경우도 있고, 각이 다른 경우도 있어요. 하지만 모두 '엇각'이구요,각의 크기까지 같은 건 평행선이 놓여있을 때입니다. ​아무튼 엇각을 찾는 기묘한 방법에 대해서 이야기를 시..
중등 2학년 수학 > 도형의 닮음 > 평행선 사이의 선분의 길이의 비 개념, 연습문제 프린트 학습지 중등 2학년 수학 > 도형의 닮음 > 평행선 사이의 선분의 길이의 비 개념, 연습문제 프린트 학습지 평행선 사이의 선분의 길이세 개 이상의 평행선이 다른 두 직선과 만날 때, 평행선 사이에 생기는 선분의 비는 같습니다.  위와 같은 선분의 비가 성립하는 이유는 다음과 같습니다. 보조선을 하나 긋게 되면 선분$c$, $d$가 중간 다리 역할을 하며 비율 관계를 만들어내기 때문이죠. 그럼 문제를 하나 풀어보도록 하겠습니다. 우선 위 그림에서 한 직선이 숫자로만 이루어진 부분을 찾아 비를 찾아요. 파란색 선분과 주황색 선분의 길이의 비가 $1\ :\ 3$이므로 이를 이용하여 선분의 길이를 구할 수 있습니다. $y\ :\ 28\ =\ 1\ :\ 4$이므로 계산하면 $y=7$입니다. 위 식을 계산하면 $x=18$..
고등 수학II > 도함수의 활용 > 지면과 수직하게 위로 던진 공의 t초 후의 속도, 가속도 구하기 연습문제 프린트 학습지 고등 수학II > 도함수의 활용 > 지면과 수직하게 위로 던진 공의 t초 후의 속도, 가속도 구하기 연습문제 프린트 학습지 실생활에서 관찰할 수 있는 공의 움직임을 함수로 표현하고, 그 함수식에 대하여 도함수를 구하면 다양한 활용이 가능한데요, (과학에서 수학적 원리가 사용되는 사실상 과학 문제)특히 지면에서 수직으로 공을 던졌을 때, 공의 움직임은 이차함수와 같은 움직임을 가진다고 가정할 수 있습니다. 그럴 경우 이러한 이차함수를 미분한 일차함수는 시간 $t$에 따른 속도를 나타내는 함수가 되고 또 미분을 하게 되면 가속도 함수가 됩니다. 그런데 왜 위치에 관한 함수를 미분하면 속도가 될까요?그 이유는 위치에 관한 함수 $f(t)$가 있다고 할 때, 가령, $f(t)=-2t^2+4t+5$가 있으면 이 ..

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