고등 수학II > 미분법 > 도함수의 정의와 미분법 공식, 연습문제 프린트 학습지

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도함수

도함수란 $y=f(x)$를 도함수의 정의에 의하여 구한 함수입니다. 

$$f'(x)=\lim_{ h→0}{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

 

도함수는 미분계수를 모든 실수 $x$에 대하여 함수화시킨 것인데요, $x$에 임의의 값을 대입하면 곧바로 접선의 기울기값을 말해주기 때문에 아주 효율적인 함수입니다. 

 

도함수의 정의는 많은 공식들을 증명할 때 사용되는데요, 특히 $y=x^n$이라는 다항함수를 미분하는 공식을 만들 수 있어요. 먼저 공식을 살펴보고, 증명을 하도록 하겠습니다. 

 

$y=x^n $ (n은 자연수)와 상수함수의 도함수 증명

 

$f(x)=x^n$이라 하면

$f'(x)=\lim_{h→0}{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}= \lim_{h→0}{\dfrac{(x+h)^{n}-x^n}{h}}$

$\style{visibility:hidden}{f'(x)}=\lim_{h→0}{\dfrac{\{(x+h)-x\}\{(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+\cdots+x^{n-1}\} }{h}}$

$\style{visibility:hidden}{f'(x)}=\lim_{h→0}\{(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+\cdots+x^{n-1}\}$

$\style{visibility:hidden}{f'(x)}=x^{n-1} + x^{n-1} +\cdots+x^{n-1}$(같은 항이 n개)

$\style{visibility:hidden}{f'(x)}=nx^{n-1}$

참고로 $a^{n}-b^{n}$을 인수분해하면 다음과 같습니다. 

$a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})$ 

 

위 도함수의 정의 식에서 이러한 패턴이 사용되었다는 점을 참고해주세요. 

 

상수함수 $y=k$의 도함수도 마찬가지로 도함수의 정의로 구하면,

$f(x)=k$일 때,

$f'(x)=\lim_{h→0}{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}= \lim_{h→0}{\dfrac{c-c}{h}}=0$

 

이므로 상수함수의 도함수는 언제나 $f'(x)=0$입니다. 

 

이렇게 $y=x^n$와 상수함수 $y=k$의 도함수를 증명하였구요, 

미분법 공식을 연습할 수 있는 사이트를 추천드릴게요. 

수학 문제 만드는 사이트 '모두매쓰'에 들어가셔서 

수학II > 미분법 으로 검색하시면 미분법 공식에 관한 문제를 생성하여 프린트 할 수 있습니다. 

 

그럼 오늘도 좋은 하루되세요.

 

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