고등 수학II > 미분법 > 도함수의 정의와 미분법 공식, 연습문제 프린트 학습지

고등 수학II > 미분법 > 도함수의 정의와 미분법 공식, 연습문제 프린트 학습지

 

도함수

도함수란 $y=f(x)$를 도함수의 정의에 의하여 구한 함수입니다. 

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

 

도함수는 미분계수를 모든 실수 $x$에 대하여 함수화시킨 것인데요, $x$에 임의의 값을 대입하면 곧바로 접선의 기울기값을 말해주기 때문에 아주 효율적인 함수입니다. 

 

도함수의 정의는 많은 공식들을 증명할 때 사용되는데요, 특히 $y=x^n$이라는 다항함수를 미분하는 공식을 만들 수 있어요. 먼저 공식을 살펴보고, 증명을 하도록 하겠습니다. 

 

$y=x^n$ (n은 자연수)와 상수함수의 도함수 증명

 

$f(x)=x^n$이라 하면

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{(x+h{)}^n-x^n}{h}}$

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\{(x+h)-x\}\{(x+h{)}^{n-1}+(x+h{)}^{n-2}x+\cdots +x^{n-1}\}}{h}}$

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\{(x+h{)}^{n-1}+(x+h{)}^{n-2}x+\cdots +x^{n-1}\}$

$f^{\prime }(x)=x^{n-1}+x^{n-1}+\cdots +x^{n-1}$(같은 항이 n개)

$f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$

참고로 $a^n-b^n$을 인수분해하면 다음과 같습니다. 

$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2+\cdots +a{b}^{n-2}+b^{n-1})$ 

 

위 도함수의 정의 식에서 이러한 패턴이 사용되었다는 점을 참고해주세요. 

 

상수함수 $y=k$의 도함수도 마찬가지로 도함수의 정의로 구하면,

$f(x)=k$일 때,

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{c-c}{h}}=0$

 

이므로 상수함수의 도함수는 언제나 $f^{\prime }(x)=0$입니다. 

 

이렇게 $y=x^n$와 상수함수 $y=k$의 도함수를 증명하였구요, 

미분법 공식을 연습할 수 있는 사이트를 추천드릴게요. 

수학 문제 만드는 사이트 '모두매쓰'에 들어가셔서 

수학II > 미분법 으로 검색하시면 미분법 공식에 관한 문제를 생성하여 프린트 할 수 있습니다. 

 

그럼 오늘도 좋은 하루되세요.

 

고등 수학II > 미분법 > 도함수의 정의와 미분법 공식, 연습문제 프린트 학습지