중등 2학년 수학 > 평행사변형과 닮음비 > 삼각형과 평행사변형의 넓이 비율 구하기

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이번 문제는 평행사변형과 삼각형의 닮음비를 이용하여 넓이 비율을 구하는 문제입니다. 주어진 조건을 바탕으로 삼각형 △EFH와 평행사변형 □ABCD의 넓이 비율을 계산해봅시다.

 

문제 설명:

• 조건 1: 평행사변형 □ABCD에서 \(\overline{AB}\) 위의 두 점 E, F에 대해 \(\overline{AE} : \overline{EF} : \overline{FB} = 2 : 1 : 2\)입니다.
• 조건 2: \(\overline{BC}\) 위의 점 G에 대해 \(\overline{BG} : \overline{GC} = 2 : 1\)을 만족하고, \(\overline{EG}\)와 \(\overline{FD}\)의 교점을 H라고 합니다.
• 목표: 삼각형 △EFH와 평행사변형 □ABCD의 넓이 비율을 구하세요.

문제 풀이:

이제 주어진 조건을 바탕으로 문제를 풀어보겠습니다.

\(\overline{EG}\)의 연장선과 \(\overline{CD}\)와의 교점을 I라 하면, △EBG와 △GIC는 AA 닮음입니다.

\[2b : b = 3a : \overline{CI} \]

\[2b \times \overline{CI} = b \times 3a\]

\[ \overline{CI} = \frac{3}{2}a\]

△EFH와 △HID는 AA 닮음이므로,

\[ \overline{EF} : \overline{DI} = a : \frac{13}{2}a = 1 : \frac{13}{2} \]

따라서 □ABCD의 넓이를 1이라고 할 때,

\[ \overline{AJ} : \overline{JD} = \frac{2}{15} : \frac{13}{15} \]

□ABKJ의 넓이는 \(\frac{2}{15}\)이고

△EFH는 \(\overline{EF}\)를 밑변으로 하는 삼각형이므로,

\[ \triangle EFH = \frac{2}{15} \times \frac{a}{5a} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{75} \]

따라서,

\[ \frac{\triangle EFH}{\Box ABCD} = \frac{1}{75} \]

이 문제를 통해 닮음비를 이용하여 평행사변형과 삼각형의 넓이 비율을 구하는 방법을 배웠습니다. 더 많은 문제를 풀어보고 싶다면, 아래 링크에서 '모두매쓰' 사이트를 방문해 보세요!

 

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