고등 수학II > 도함수의 활용 > 기울기가 주어질 때, 접선의 방정식 구하기 연습문제 프린트 학습지

고등 수학II > 도함수의 활용 > 기울기가 주어질 때, 접선의 방정식 구하기 연습문제 프린트 학습지

삼차함수 또는 사차함수에 접하는 직선의 방정식을 구하는 문제를 풀어보도록 하겠습니다.

기울기가 주어진 직선은 아래와 같이 여러 개가 있을 수 있습니다.

기울기가 $m$ 으로 주어질 때 어떻게 접선의 방정식을 구하는지 직접 문제를 함께 보면서 이야기해보겠습니다.

먼저 함수 $y = f (x)$ 의 도함수 $y^{'} = f^{'} (x)$ 를 구하면,

$y^{'} = 2 x^{2} - 6 x + 1$ 이고, 기울기가 1일 때의 x값을 구하면,

$2 x^{2} - 6 x + 1 = 1$

$2 x^{2} - 6 x = 0$

$x^{2} - 3 x = 0$

$x (x - 3) = 0$

$x = 0$ 또는 $x = 3$

이렇게 $x$ 의 값이 2개가 나왔는데요, 이 $x$ 의 값이 무엇을 의미하는지를 해석하는 것이 가장 중요해요.

바로 $x$ 의 값의 의미는 접점의 $x$ 좌표입니다.

접점의 $x$ 좌표의 정보를 가지고 있으면 이제 접점의 좌표를 구할 수 있게 됩니다. 바로 그 $x$ 좌표를 함수 $y = f (x)$ 에 대입하게 되면 $y$ 좌표를 구할 수 있게 됩니다.

곡선 $y = \frac{2}{3} x^{3} - 3 x^{2} + x + 1$ 에서 $x = 0$ 을 대입하면,

$f (0) = 1$ 이므로 첫번째 접선의 방정식은 기울기가 $1$ 이고, 한 점 $(0, 1)$ 을 지나는 직선입니다.

$(y - 1) = 1 \times (x - 0)$

$y = x + 1$

다음으로 두번째 접선의 방정식은 접점의 $x$ 좌표가 $3$ 이므로 이를 대입하면,

$f (3) = \frac{2}{3} \times 3^{3} - 3 \times 3^{2} + 3 + 1$

$f (3) = 18 - 27 + 3 + 1 = - 5$

따라서 두번째 접선의 방정식은 기울기가 $1$ 이고 한 점 $(3, - 5)$ 를 지나는 직선입니다.

$(y + 5) = 1 \times (x - 3)$

$y = x - 8$

정리하면, 접선의 방정식은 $y = x + 1$ , $y = x - 8$ 입니다.

이렇게 기울기가 주어질 때, 접선의 방정식을 구하는 문제를 풀어봤는데요,

풀이 순서는 아래와 같습니다.

1. 도함수 $f^{'} (x)$ 를 구한다.

2. 도함수 = 주어진 기울기 (x에 대한 방정식의 해는 접점의 $x$ 좌표이다)

3. 접점의 x좌표로 접점의 좌표 (x,y)를 구한다.

4. 주어진 기울기와 접점의 좌표로 접선의 방정식을 구한다.

그럼 이해가 되셨길 바라면서 같은 유형의 문제를 더 연습하고 싶으시면 '모두매쓰'를 이용해보세요.

수학은 머리로 이해하는 것과 실전 감각을 기르는 것을 동시에 하는 것이 매우 중요하니까요.

아래 이미지는 '모두매쓰' 링크입니다.