고등 수학II > 도함수의 활용 > 곡선 밖의 한 점이 주어질 때, 접선의 방정식 구하기 연습문제 프린트 학습지

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곡선 밖의 한 점이 주어질 때, 삼차함수 또는 사차함수에 접하는 직선의 방정식을 구하는 문제를 풀어보겠습니다.

다음 문제를 보시면,

한 점이 $(0, - 1)$ 로 주어졌는데요, 원래는 그래프까지 그리지 않고 풀 수 있지만 이해를 돕기 위해 곡선의 그래프와 한 점의 위치를 먼저 확인해볼게요.

위 그림에 나온 곡선 밖의 한 점 $(0, - 1)$ 에서 몇 개의 접선을 그을 수 있을까요? 네, 1개 그을 수 있어요. 곡선 밖에 한 점의 위치에 따라서 2개 또는 3개의 접선도 그을 수도 있습니다. 이 문제에서는 1개의 접선을 그을 수 있는데요, 이렇게 그을 수 있는 접선의 개수가 왜 중요한지 아래 풀이에서 설명드리겠습니다.

일단, 첫번째로 이 문제는 도함수의 활용 문제니까 도함수 $f^{'} (x)$ 를 구해야합니다.

$y = - 3 x^{3} + 5 x^{2} + 5 x - 2$ 를 미분하면

$y^{'} = - 9 x^{2} + 10 x + 5$ 이고 곡선 위의 임의의 한 점을 $(t, f (t))$ 라 두면

임의의 $x = t$ 에 대한 접선의 방정식은 다음과 같습니다.

기울기 $f^{'} (t) = - 9 t^{2} + 10 t + 5$ 이고 한 점 $(t, f (t)) = (t, 3 t^{3} + 5 x^{2} + 5 t - 2)$ 를 지나는 접선의 방정식은

$y - (- 3 t^{3} + 5 t^{2} + 5 t - 2) = (- 9 t^{2} + 10 t + 5) (x - t)$

이런 임의의 실수 $t$ 에 대한 접선의 방정식이 어떤 느낌의 식인지 아래 그림을 보면 알 수 있어요.

임의의 실수 $t$ 의 값에 따라서 접선은 움직이는데요, 중요한 것은 곡선 밖의 한 점 $(0, - 1)$ 을 지날 때의 $t$ 값을 알아야 합니다.

사실 이미 그래프까지 그리고, 점의 위치까지 그린 상태이므로 $t = 0$ 이라는 것이 눈에 바로 보이긴 하지만, 실제로 그래프까지 그리고 문제를 풀지 않기 때문에 $t$ 를 구하는 식을 세워야합니다.

방금 구했던 임의의 실수 $t$ 에 대한 접선의 방정식은

$y - (- 3 t^{3} + 5 t^{2} + 5 t - 2) = (- 9 t^{2} + 10 t + 5) (x - t)$

$y = (- 9 t^{2} + 10 t + 5) (x - t) - 3 t^{3} + 5 x^{2} + 5 t - 2$

인데요, 이 식은 복잡해보이지만 그냥 직선의 방정식일 뿐이에요. 이 직선이 한 점 $(0, - 1)$ 을 지나므로 $x = 0, y = - 1$ 을 대입하면 성립해야 합니다.

$- 1 = (- 9 t^{2} + 10 t + 5) (0 - t) - 3 t^{3} + 5 t^{2} + 5 t - 2$

$0 = 9 t^{3} - 10 t^{2} - 5 t - 3 t^{3} + 5 t^{2} + 5 t - 1$

$6 t^{3} - 5 t^{2} - 1 = 0$

이 식은 $t$ 에 대한 삼차방정식인데요, 방정식의 해가 가지는 의미가 매우 중요합니다.

바로 방정식의 해는 접점의 $x$ 좌표를 가리켜요. 아까 그림에서 봤듯이 말이죠.

그렇다면 $t$ 에 대한 삼차방정식의 해를 구해보도록 할게요.

$6 t^{3} - 5 t^{2} - 1 = 0$

3차 이상의 고차방정식은 $f (t) = 0$ 이 되는 $t$ 를 찾아야 합니다.

$f (1) = 6 - 5 - 1 = 0$ 이 성립하므로 $t = 1$ 이라는 근을 가집니다.

조립제법으로 식을 정리하면,

$(t - 1) (6 t^{2} + t + 1) = 0$

나머지 인수인 $6 t^{2} + t + 1 = 0$ 을 만족하는 $t$ 의 값은 허수가 나옵니다.

여기서 중요한 포인트가 있어요. 방정식의 해는 '실근'일 경우에만 접선의 방정식을 가집니다.

'허근'일 경우에는 접선의 방정식을 가질 수 없어요. 왜 그럴까요?

그 이유는 당연하게도 실수 공간으로 이루어진 좌표평면에서 $t$ 의 값은 실수일 경우에만 표현이 가능하기 때문입니다.

따라서 방정식의 해, 그 중에서도 '실근'이 몇 개인지, 중근인지 여부가 접선의 개수와 종류를 결정하는 것입니다.

아무튼 $t = 1$ 이라는 실근 하나만을 가지므로 그을 수 있는 접선도 1개 뿐이라는 사실을 알 수 있었고,

이를 바탕으로 접선의 기울기와 접점의 좌표를 구하면

$f^{'} (x) = - 9 x^{2} + 10 x + 5$ 에서 $f^{'} (1) = - 9 + 10 + 5 = 6$

$f (x) = - 3 x^{3} + 5 x^{2} + 5 x - 2$ 에서 $f (1) = 5$ 이므로

기울기가 $6$ 이고, 한 점 $(1, 5)$ 를 지나는 직선의 방정식은

$y - 6 = 6 (x - 1)$

$y = 6 x - 1$

이렇게 곡선 밖의 한 점이 주어질 때, 접선의 방정식을 구하는 문제를 풀어보았습니다.

정리하면,

1. $f^{'} (x)$ 를 구한다.

2. 임의의 실수 $t$ 에 대하여 접선의 방정식 $y = f^{'} (t) (x - t) + f (t)$ 를 구한다.

3. 곡선 밖의 한점을 2번식에 대입한다.

4. $t$ 에 대한 방정식의 실근을 구한다.(접점의 x좌표 역할)

5. 각각의 $t$ 에 대하여 기울기와 접점의 좌표를 구하고, 접선의 방정식을 구한다.

다른 유형과 달리 곡선 밖의 한 점을 지나는 접선의 방정식 문제는 식이 다소 복잡하지만,

차근차근 문제를 풀면 해결할 수 있을 것입니다.

특히, 방정식의 실근은 접점의 x좌표의 의미를 가진다는 것을 꼭 기억해주길 바래요.

끝으로 해당 유형의 문제를 충분히 연습할 수 있는 '모두매쓰' 사이트를 추천드립니다.

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아래 이미지 링크를 첨부하겠습니다.