고등 수학II > 도함수의 활용 > 정의역 구간이 있는 삼차함수의 최댓값과 최솟값 구하기 연습문제 프린트 학습지

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삼차함수의 그래프를 그릴 수 있다면, 최댓값과 최솟값을 구하는 것은 어렵지 않아요.

제가 추천드리는 문제풀이 방법은 '그래프를 많이 그려라'입니다. 수학은 식과 그래프가 일대일대응 관계에 있고, 그래프를 그리는 것이 다양한 사고와 추론능력을 향상시키기 때문에 그래프를 많이 그리는 것이 중요해요. 특히 거꾸로 그래프가 나오는 문제에서 식을 구성하는 능력을 길러줄 수 있기 때문입니다.

그럼 문제를 풀어보면서, 삼차함수의 그래프에 대한 개념과 최댓값, 최솟값을 구하는 법에 대해 이야기하겠습니다.

함수 $f(x)$의 그래프를 그리기 위해 도함수 $f'(x)$의 식을 구합니다.

$f'(x)=3x^2-6x-24$

그리고 $f'(x)=0$이 되는 $x$의 값을 구합니다.

$3x^2-6x-24=0$

$x^2-2x-8=0$

$(x+2)(x-4)=0$

$x=-2$ 또는 $x=4$

중요한 것은 바로 $f'(x)=0$을 만족하는 $x$의 값이 무엇을 뜻하는 것인가인데요,

바로 $(2,f(2))$에서 그은 접선의 기울기가 $f'(2)$의 값이고, $(4,f(4))$에서 그은 접선의 기울기가 $f'(4)$의 값입니다. 처음 방정식이 $f'(x)=0$이므로 접선의 기울기가 $0$이 되는 $x$의 값입니다.

접선의 기울기가 $0$이 되는 접점의 좌표는 $(-2,f(-2))$와 $(4,f(4))$이므로

$(-2,f(-2))=(-2,26)$, $(4,f(4))=(4,-82)$입니다.

두 점은 모두 극대, 극소와 같은 극점이므로 그래프로 나타내면 다음과 같습니다.

여기서 정의역 구간 $[-5,1]$을 놓고 최댓값과 최솟값을 찾아야 하므로

$x=-2$일 때, 함수 $f(x)$는 최댓값을 가지고, $x=-5$일 때 최솟값을 가집니다.

따라서 값을 구하면,

최댓값 $f(-2)=26$, 최솟값 $f(-5)=-82$ 입니다.

끝으로 해당 유형의 문제를 충분히 연습할 수 있는 '모두매쓰' 사이트를 추천드립니다.

모두매쓰는 수학 문제를 무한히 생성하여 프린트 할 수 있는 학습 도구입니다.

아래 이미지 링크를 첨부하겠습니다.