고등 수학II > 도함수의 활용 > 곡선 위의 한 점이 주어질 때, 접선의 방정식 구하기 연습문제 프린트 학습지

고등 수학II > 도함수의 활용 > 곡선 위의 한 점이 주어질 때, 접선의 방정식 구하기 연습문제 프린트 학습지

도함수 $y=f'(x)$를 구하는 법을 배우고 난 다음 이것을 어디에 사용할지에 대한 도함수의 활용 단원이 있습니다.

도함수란 쉽게 말해 '기울기의 함수'입니다. 이미 배웠듯이 기울기를 알고 한 점을 알면 직선의 방정식을 구할 수 있습니다.

기울기가 $m$이고 한 점 $(x_{1},y_{1})$을 지나는 직선의 방정식

$$(y-y_{1})=m(x-x_{1})$$

그러므로 이와 같은 패턴으로 함수 $y=f(x)$ 위의 한 점 $(a,f(a))$에서의 접선의 방정식은 다음과 같습니다.

$$(y-f(a))=f'(a)(x-a)$$

$f'(a)$는 $x=a$에서의 접선의 기울기입니다.

이를 바탕으로 연습문제를 풀도록 하겠습니다.

(1)번 문제에 따르면 곡선 위의 점 $(1,0)$을 지나고, $x=1$일 때, 접선의 기울기인 $f'(1)$을 구하기 위해서는 함수 $y=f(x)$를 미분한 도함수를 구해야 합니다. 함수를 미분하면 $y'=-3x^2+2x-1$이고 $f'(1)=-3+2-1=-2$입니다.

정리하면, 기울기가 $-2$이고, 한 점 $(1,0)$을 지나는 직선의 방정식은

$$(y-0)=-2(x-1)$$

$$y=-2x+2$$

(2)번 문제는 한 점 $(1,0)$을 지나면서 수직이어야 하므로 (1)번에서 구한 기울기와 수직인 관계에 있습니다.

수직인 직선끼리는 기울기의 곱이 $-1$이므로 수직인 기울기는 $\dfrac{1}{2}$입니다.

정리하면, 기울기가 $\dfrac{1}{2}$이고 한 점 $(1,0)$을 지나는 직선의 방정식은

$$(y-0)=\dfrac{1}{2}(x-1)$$

$$y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$$

이렇게 곡선 위의 한 점에서 그은 접선의 방정식을 구하는 문제를 풀어봤는데요,

추가적으로 연습문제를 풀고 싶으면 수학 문제를 만드는 사이트 '모두매쓰'를 이용하길 바랍니다.

그럼 오늘도 좋은 하루되세요.