고등 수학II > 도함수의 활용 > 곡선 위의 한 점이 주어질 때, 접선의 방정식 구하기 연습문제 프린트 학습지

고등 수학II > 도함수의 활용 > 곡선 위의 한 점이 주어질 때, 접선의 방정식 구하기 연습문제 프린트 학습지

 

도함수 $y=f^{\prime }(x)$를 구하는 법을 배우고 난 다음 이것을 어디에 사용할지에 대한 도함수의 활용 단원이 있습니다. 

도함수란 쉽게 말해 '기울기의 함수'입니다. 이미 배웠듯이 기울기를 알고 한 점을 알면 직선의 방정식을 구할 수 있습니다. 

 

기울기가 $m$이고 한 점 $(x_1,y_1)$을 지나는 직선의 방정식

$$(y-y_1)=m(x-x_1)$$

 

그러므로 이와 같은 패턴으로 함수 $y=f(x)$ 위의 한 점 $(a,f(a))$에서의 접선의 방정식은 다음과 같습니다. 

$$(y-f(a))=f^{\prime }(a)(x-a)$$

$f^{\prime }(a)$는 $x=a$에서의 접선의 기울기입니다. 

 

이를 바탕으로 연습문제를 풀도록 하겠습니다. 

(1)번 문제에 따르면 곡선 위의 점 $(1,0)$을 지나고, $x=1$일 때, 접선의 기울기인 $f^{\prime }(1)$을 구하기 위해서는 함수 $y=f(x)$를 미분한 도함수를 구해야 합니다. 함수를 미분하면 $y^{\prime }=-3x^2+2x-1$이고 $f^{\prime }(1)=-3+2-1=-2$입니다. 

정리하면, 기울기가 $-2$이고, 한 점 $(1,0)$을 지나는 직선의 방정식은

$$(y-0)=-2(x-1)$$

$$y=-2x+2$$

 

(2)번 문제는 한 점 $(1,0)$을 지나면서 수직이어야 하므로 (1)번에서 구한 기울기와 수직인 관계에 있습니다. 

수직인 직선끼리는 기울기의 곱이 $-1$이므로 수직인 기울기는 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$입니다. 

정리하면, 기울기가 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$이고 한 점 $(1,0)$을 지나는 직선의 방정식은

$$(y-0)={\displaystyle \frac{1}{2}}(x-1)$$

$$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$

 

이렇게 곡선 위의 한 점에서 그은 접선의 방정식을 구하는 문제를 풀어봤는데요, 

추가적으로 연습문제를 풀고 싶으면 수학 문제를 만드는 사이트 '모두매쓰'를 이용하길 바랍니다. 

 

그럼 오늘도 좋은 하루되세요.

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