고등 수학II > 도함수의 활용 > 방정식의 실근의 개수 구하기 연습문제 프린트 학습지

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다음 문제를 함께 풀면서 개념을 설명하도록 하겠습니다. 

방정식의 근을 구할 때를 떠올려보면, 일차방정식은 등식의 성질을 이용하였고, 이차방정식은 근의 공식이나 인수분해를 이용하여 구하였어요. 삼차 이상의 고차방정식은 인수정리를 이용해서 풀었는데,

위 문제는 인수정리로 풀려면 미지수 $k$가 없어야 하는데요, 특히 $k$의 값에 따라서 실근의 개수가 달라진다는 것이 해를 구하는데 있어 굉장히 난해한 부분입니다.  만약 이 문제를 그래프 없이 푼다면 말이죠. 

그래서 기하학적인 요소가 문제 해결에 핵심적인 역할을 한다는 것을 다시 한 번 느끼게 만드는 문제입니다. 

 

식을 아래와 같이 변형을 해보면, 

$3x^4+8x^3-6x^2-24x-6-k=0$

$ 3x^4+8x^3-6x^2-24x-6=k$

 

미지수 $k$를 우변으로 이항하면 좌변은 $x$에 관한 삼차식이며 독립적으로 함수화시켜 그래프를 그릴 수 있어요. 

즉, 좌변의 그래프와 우변의 그래프가 만나는 교점으로서 방정식의 실근(교점은 실근으로 나타남)을 찾을 수 있어요. 

$f(x)=3x^4+8x^3-6x^2-24x-6$와 $g(x)=k$라 하고, $y=f(x)$를 그래프로 나타내면 다음과 같습니다. 

이때, 상수함수 $y=k$를 그었을 때, 사차함수의 그래프와 2개의 점에서 만날 때, 서로 다른 방정식의 실근은 2개가 나옵니다. 그러므로 아래와 같이 $k$의 범위를 알 수가 있어요. 

교점이 2개이고, 그 값이 서로 다르므로 $k$의 범위는

$k>7$ 또는 $k < 2$ 입니다. 

참고로 만약 $k=7$이면 교점은 3개가 나오기 때문에 방정식의 서로 다른 실근의 개수가 3이 나오므로 해가 아닙니다. 

이렇게 그래프를 통해 방정식의 실근의 개수가 2개가 되는 $k$의 값의 범위를 구하였습니다. 

그래프가 아니었으면 매우 어려운 어쩌면 풀지 못할 수준의 문제였을 것입니다. 

함수의 그래프를 그리는 방법을 익히고 충분히 연습을 하시기 바랍니다. 

 

끝으로 위와 같은 유형의 문제를 무제한으로 생성하여 프린트 할 수 있는 '모두매쓰'라는 사이트를 추천드립니다. 

모두매쓰는 다양한 문제 유형를 만들어서 원하는 만큼 연습할 수 있습니다. 

그럼 오늘도 좋은 하루되세요.

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