고등 수학II > 도함수의 활용 > 지면과 수직하게 위로 던진 공의 t초 후의 속도, 가속도 구하기 연습문제 프린트 학습지

고등 수학II > 도함수의 활용 > 지면과 수직하게 위로 던진 공의 t초 후의 속도, 가속도 구하기 연습문제 프린트 학습지

실생활에서 관찰할 수 있는 공의 움직임을 함수로 표현하고, 그 함수식에 대하여 도함수를 구하면 다양한 활용이 가능한데요, (과학에서 수학적 원리가 사용되는 사실상 과학 문제)

특히 지면에서 수직으로 공을 던졌을 때, 공의 움직임은 이차함수와 같은 움직임을 가진다고 가정할 수 있습니다.

그럴 경우 이러한 이차함수를 미분한 일차함수는 시간 $t$ 에 따른 속도를 나타내는 함수가 되고 또 미분을 하게 되면 가속도 함수가 됩니다.

그런데 왜 위치에 관한 함수를 미분하면 속도가 될까요?

그 이유는 위치에 관한 함수 $f (t)$ 가 있다고 할 때, 가령,

$f (t) = - 2 t^{2} + 4 t + 5$ 가 있으면 이 함수값은 위치를 나타내는데, 이것을 시간 $t$ 에 대하여 미분한다는 것은 $\frac{d}{d t}$ 를 곱하는 것과 같아요. 즉,

$f (t) \times \frac{d}{d t} = \frac{d f (t)}{d t}$ 예요. 여기서 다음 식을 잘 보시면, 아래 식 자체가 속도예요.

$\frac{d f (t)}{d t}$

그러므로 단순히 위치를 미분하면 속도이더라라고 외우는게 아니라, 식이 의미하는 바가 속도이다는게 자연스러운 결과라는 것으로 이해해야 합니다.

이제 이러한 개념을 활용하여 연습문제를 풀어보도록 할게요.

시간 $t \geq 0$ 이라고 할 수 있으므로 $t = 0$ 일 때의 $x (0) = 28$ 인데요, 이것은 공을 던지기 시작할 때 이미 지상 $28 m$ 높이에 공이 위치함을 의미한다고 할 수 있어요. 부수적이지만 알아두면 좋구요,

(1)번 문제에서 4초 후의 공의 속도와 가속도를 묻고 있습니다. 먼저 위치에 대한 함수 $x (t)$ 를 $t$ 에 대하여 미분하면

$x^{'} (t) = v (t) = - 2 t + 12$

입니다. 4초 후의 속도는 $t = 4$ 를 대입하면 되므로

$v (4) = 4$ 이고,

가속도는 속도를 미분한 함수식이므로

$v^{'} (t) = a (t) = - 2$

로써 모든 시간에 대하여 언제나 $- 2$ 의 값을 가집니다.

(2)번 문제에서 운동방향을 바꾸는 순간을 먼저 찾아야 해요. 운동방향을 바꾼다는 것의 의미는 속도가 $0$ 이 되고 부호가 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 변하는 순간을 말합니다. 속도의 양, 음은 운동방향을 나타내기 때문이에요.

그러면 $v (t) = 0$ 이 되는 $t$ 의 값을 구하면 됩니다.

$v (t) = - 2 t + 12 = 0$

$2 t = 12$

$t = 6$

따라서 $t = 6$ 초인 순간 운동방향이 바뀌고, 그때의 높이, 즉 위치는

$x (6) = - 36 + 72 + 28 = 64$ 입니다.

(3)번 문제에서 공이 지면에 떨어지는 순간은 '위치'가 $0$ 이 될 때를 가리킵니다. 위치는 지면이 기준이 된다는 것도 생각할 필요가 있습니다.

$x (t) = 0$ 이 되는 $t$ 의 값을 구하게 되면,

$x (t) = - t^{2} + 12 t + 28 = 0$

$(t + 2) (t - 14) = 0$

$t \geq 0$ 이므로 $t = 14$ 입니다. 즉 지면에 도달하는 데까지 걸린 시간이 $14$ 초이고, 그 순간의 속도와 가속도는

$v (14) = - 12$

$a (14) = - 2$

입니다.

참고로 속도는 위쪽으로 운동할 때 양수이면 아래로 떨어질 때는 음수입니다. 속도의 절댓값으로서의 속력은 $12$ 라고 할 수 있습니다.

이렇게 지면에서 수직한 방향으로 공을 위로 던질 때, 시간 $t$ 에 따른 속도와 가속도에 대한 문제풀이를 하였습니다.

여기서 포인트는 '운동 방향이 바뀌는 시점은 속도가 $0$ 이 되는 순간과 관계가 있다'는 점과 '지면에 떨어질 때는 위치가 $0$ 이 되는 순간과 관계가 있다'는 것입니다.

추가적으로 위와 같은 문제 유형을 무제한으로 생성하여 연습할 수 있는 좋은 웹사이트가 있습니다.

모두매쓰라고 하는 사이트인데, 원하는 문제 유형을 골라 원하는 만큼 생성하고 프린트할 수 있으니 많이 활용하기를 추천드립니다.

그럼 오늘도 좋은 하루 되시기 바랍니다.