고등 수학(상) > 다항식의 계산 > 곱셈공식 효율적으로 외우기, 개념 연습문제 프린트 학습지

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곱셈공식은 다항식의 연산을 쉽고 빠르게 하기 위하여 몇가지 유형별로 정리한 것입니다.

처음 등장은 중3 1학기인데요, 인수분해를 배우기 전에 곱셈공식을 먼저 배웁니다.

고등학교 1학년 1학기 다항식의 연산에서 다시 인수분해가 나오는데요, 곱셈공식이 몇 개 추가되어서 거의 10개에 가까워지죠.

그래서 많은 학생들이 곱셈공식이 너무 많아서 수학은 역시 공식이고 암기야! 라고 오해하기도 한답니다.

그런데 사실은 절반은 외우지 않아도 되는 공식이에요. 대략 5개만 외우면 됩니다.

자 그럼 시작해볼게요.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

이 공식을 많이 보셨을텐데요, 이 공식에서 두번째 공식은 외우지 않아도 됩니다.

왜 그런지 설명을 할게요.

보통 우리가 '항'이라는 개념을 잘 모르는 경우가 있어요.

'항'의 정의

숫자 또는 문자의 곱으로 이루어진 식

$a+b$는 어떤 항으로 이루어진 다항식인가요?

$a$와 $b$로 이루어진 다항식입니다.

그럼 $a-b$는 어떤 항으로 이루어진 다항식인가요?

$a$와 $-b$로 이루어진 다항식입니다.

이때 어떤 학생이 다음과 같이 이야기한다고 가정합시다.

'네? $-b$요? 무슨 말씀이세요. $b$라는 항을 $a$에서 뺄셈(-) 한거잖아요.'

이 학생의 말도 틀린 건 아니지만 그러면 모든 곱셈공식을 외워야해요.

하지만 제 말을 잘 듣고 이해해보세요.

우리가 다항식에서 '항'이라는 개념을 배울 때, 다음 다항식을 이렇게 분석했어요.

$x^2-2x+3$ 은 $x^2$, $-2x$, $3$ 이렇게 3개의 항으로 이루어졌다고 말해요.

여기서 중요한 점은 부호까지 포함해서 항으로 분류하였다는 점이에요.

그러니까 다항식의 항을 볼 때 이런 관점에서 바라본 거에요.

$x^2+(-2x)+(+3)$

마치 모든 것을 덧셈으로 연결한 것처럼요.

분명한 것은 $x^2-2x+3$과 $x^2+(-2x)+(+3)$은 완벽하게 같은 식입니다.

그럼 다시 다음을 항으로 분류해볼까요?

$a-b=a+(-b)$

이것은 $a$와 $-b$의 합입니다.

즉, 식을 바라볼 때, 모든 항을 부호까지 포함해서 항으로 쪼갤 수 있다라고 생각하면,

식을 보는 눈도 생기고, 곱셈공식을 보는 눈도 생기는거에요.

계속 해볼게요.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

위 곱셈공식은 $a$를 제곱하고, $2$와 $a$와 $b$를 곱하고, $b$를 제곱한 것의 총합입니다.

이때, $a$는 왼쪽의 항, $b$는 오른쪽의 항의 의미 이상도 이하도 아닙니다.

이제 $-$부호가 들어간 공식을 볼게요.

$(a-b)^2=$

자 이것을 무조건 외운 공식으로 전개하는게 아니라, 첫번째 공식을 이용해서 전개해볼게요.

$\{a+(-b)\}^2$

첫번째 공식에 $b$자리에 $-b$가 있죠? 바로 $-b$가 오른쪽의 항 역할을 하게 될거에요.

그럼 전개를 하면, 왼쪽의 항의 제곱, $2$와 왼쪽의 항과 오른쪽의 항의 곱, 오른쪽항의 제곱의 총합.

$\{a+(-b)\}^2=a^2+2\cdot a \cdot (-b)+(-b)^2=a^2-2ab+b^2$

결과가 똑같죠? 두번째 공식을 외울 필요가 있나요? 전혀 없습니다. 첫번째 공식만 제대로 이해하고, 항을 분류할 줄만 알면 되는거에요.

그럼 이제 다른 공식도 살펴볼게요.

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+2ab^2-b^3$

이 두 가지 곱셈공식도 너무나 유명하죠. 특히 $(a-b)^3$의 전개는 $+$부호와 $-$부호가 번갈아가며 나타난다고 외웠을거에요.

하지만 이것도 마찬가지로 첫번째 공식만 외우면 됩니다.

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

이 공식은 $a$가 왼쪽항, $b$가 오른쪽항이고,

왼쪽항의 세제곱($a^3$), $3$과 왼쪽항의 제곱과 오른쪽항의 곱($3a^2b$), $3$과 왼쪽항과 오른쪽항의 제곱의 곱($3ab^2$), 오른쪽항의 세제곱($b^3$)의 총합입니다.

그럼 다음 식을 전개해볼까요?

$(a-b)^3=$

두번째 공식을 외운 학생은 이렇게 얘기할거에요.

'별로 외우는게 어렵지도 않은데 굳이 이렇게까지 공부할 필요있나요? 그냥 외울래요!'

네, 이렇게 공부해도 됩니다. 외워서 풀어도 아무 지장없죠. 그런데 이렇게 하는 이유는 식이 좀더 복잡해지고 부호가 많아지면 실수를 하거나 혼동되는 일('$+$였나? $-$였나?)이 반드시 생깁니다. 그럴때 확실한 이정표역할을 해요.

그럼 $(a-b)^3$을 처음 외운 공식만으로 전개해볼게요.

$\{a+(-b)\}^3=a^3+3\cdot a^2\cdot (-b) + 3\cdot a\cdot (-b)^2 + (-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

이렇게 두번째 공식을 외우지 않아도 완벽하게 같은 결과가 나옵니다.

그리고 왜 $+,-$부호가 번갈아나오게 되었는지 원리도 이해할 수 있어요.

오늘은 여기까지 왜 공식을 모두 외울 필요가 없는지에 대한 설명을 했습니다.

$+,-$부호를 혼동하지 않고, 계산 실수도 줄일 수 있는 좋은 방법이므로 도움이 되셨길 바랍니다.

아래는 곱셈공식을 연습할 수 있는 개념 문제입니다.

수학 문제를 무제한으로 생성하여 프린트 할 수 있는 '모두매쓰'사이트를 이용해서 만들었습니다.

[모두매쓰 생성 연습문제]