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곱셈공식의 변형

곱셈공식을 응용하는 식으로 등식의 성질을 이용하여 식의 일부분을 다양하게 변형한 식을 뜻합니다. 

 

자주 나오는 곱셈공식의 변형 ①

가령, 다음과 같은 곱셈공식이 있다고 하면, 

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

우변의 $2ab$를 좌변으로 이항시키면,

$(a+b{)}^2-2ab=a^2+b^2$

와 같은 식이 됩니다. 

이 유형의 문제는 다음과 같이 나오게 됩니다. 

 

앞서 본 곱셈공식 변형식에 의하면, 

$x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy$

이므로 주어진 $x+y=4$와 $xy=1$을 대입하면, 

$x^2+y^2=4^2-2\times 1=14$

가 됩니다. 

 

자주 나오는 곱셈공식의 변형 ②

$(x+y{)}^3=x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3$

이때 오른쪽의 항을 이렇게 정리할 수 있어요. 

$(x+y{)}^3=x^3+y^3+3x^{2}y+3x{y}^2$

$(x+y{)}^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$

즉, $x^3+y^3$ 부분과 $3x^y+3x{y}^2=3xy(x+y)$의 두 부분으로 크게 나눠 볼 수 있습니다. 

이때, $3xy(x+y)$를 우변에서 좌변으로 이항하면, 자주 등장하는 곱셈공식 변형식이 됩니다. 

$(x+y{)}^3-3xy(x+y)=x^3+y^3$

이 유형의 문제는 다음과 같이 나옵니다. 

위 곱셈공식 변형식을 아래에 표현하면, 

$x^3+y^3=(x+y{)}^3-3xy(x+y)$

여기에 $x+y=3$과 $xy=1$을 대입하면, 

$x^3+y^3=3^3-3\times 1\times 3=18$

이 됩니다. 

 

자주 나오는 곱셈공식의 변형 ③

$(x+y+z{)}^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$

이 식에서 우변의 $2(xy+yz+zx)$를 좌변으로 이항하면, 

$(x+y+z{)}^2-2(xy+yz+zx)=x^2+y^2+z^2$

가 됩니다. 

이 유형의 문제를 풀어보면, 

 

$x^2+y^2+z^2=(x+y+z{)}^2-2(xy+yz+zx)$

이므로, 위 식에 $x+y+z=-1$과 $xy+yz+zx=4$를 대입하면, 

$x^2+y^2+z^2=(-1{)}^2-2\times 4=1-8=-7$

 

그 밖의 곱셈공식 변형 유형

다른 곱셈공식 변형 문제도 풀어보겠습니다. 

 

이 유형은 $x^3-y^3$을 인수분해한 다음 구할 수도 있습니다. 

$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$

이고 여기서에서 $xy$의 값을 따로 구하면, 

$x-y=1$을 양변 제곱하면

$(x-y{)}^2=1^2$

$x^2-2xy+y^2=1$

이 식에서 $x^2+y^2=1$이라고 조건에서 주어졌으므로

$-2xy+1=1$

$xy=0$

이 됩니다. 

이제 이 식에 대입하면, 

$x^3-y^3=1\times (1+0)=1$

이 됩니다. 

 

이렇게 곱셈공식의 변형의 대표적인 유형을 학습하고 연습문제를 풀어보았습니다. 

위 유형의 곱셈공식 연습문제를 무한히 생성하고 프린트 할 수 있는 '모두매쓰'를 추천하며 글을 마무리 하도록 하겠습니다. 학습에 도움이 되길 바랍니다. 

 

[모두매쓰 생성 연습문제]

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