고등 수학II > 도함수의 활용 > 삼차함수의 최댓값과 최솟값 구하기 연습문제 프린트 학습지

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삼차함수의 최솟값과 최댓값을 구하는 문제 유형은 삼차함수의 그래프를 그릴 수 있으면 해결할 수 있는데요,

이 글에서는 삼차함수의 그래프의 개형의 종류와 극대 극소를 찾는 방법을 공부하고, 이를 통해 삼차함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제를 풀어보겠습니다.

삼차함수의 개형

삼차함수의 개형은 크게 3가지가 있어요.

삼차함수 $y = f (x)$ 의 도함수인 $y = f^{'} (x)$ 는 이차함수인데요,

$f^{'} (x) = 0$ 는 이차방정식이며, 이차방정식의 해의 종류가 곧 삼차함수의 그래프 개형을 결정해요.

삼차함수의 개형1)

삼차함수의 개형2)

삼차함수의 개형3)

그럼 문제를 풀어보도록 할게요.

함수를 미분하고, $f (x) = 0$ 을 만듭니다.

$f^{'} (x) = - 9 x^{2} + 36 = 0$

$x^{2} = 16$

$x = 4$ 또는 $x = - 4$

서로 다른 두 실근이 $4, - 4$ 인데요, 방정식의 해를 그래프로 표현하면 다음과 같아요.

이 그래프에 따르면, 함수 $y = f (x)$ 증가 또는 감소 상태를 알수 있고, 이를 통해 극대값과 극소값을 찾을 수 있습니다.

극대값은 $x = - 4$ 일 때 함수 $f (x)$ 의 값이므로

$f (- 4) = - 3 \times {(- 4)}^{3} + 36 \times (- 4) + 18 = 192 - 144 + 18 = 66$

극소값은 $x = 4$ 일 때 함수 $f (x)$ 의 값이므로

$f (4) = - 3 \times {(4)}^{3} + 36 \times (4) + 18 = 30$

따라서 삼차함수 $y = f (x)$ 의 그래프를 다음과 같습니다.

이 그래프에서 최댓값과 최솟값을 구해야하는데요, 정의역의 구간이 $[- 4, 0]$ 이므로

구간안에서 최댓값은 $66$ , 최솟값은 $f (0) = 18$

이렇게 삼차함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제를 풀어보았습니다.

삼차함수의 개형이 3가지인 것과 극대, 극소값을 구하고 함수의 그래프까지 나타내는 과정을 다시 한번 체크하시길 바라며, 위와 동일한 문제 유형을 연습할 수 있도록 아래에 '모두매쓰'에서 만든 문제를 첨부하였습니다.

모두매쓰는 삼차함수 뿐만 아니라 사차함수의 그래프 문제도 무제한으로 생성하여 프린트 할 수 있는 수학 프린트 사이트입니다. 함수의 그래프 문제를 많이 푸시고 삼차함수와 사차함수를 마스터하시기 바랍니다.

그럼 오늘도 좋은 하루되세요.

[모두매쓰 생성 연습문제]