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고등 수학 프린트

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고등 수학II > 도함수의 활용 > 정의역 구간이 있는 삼차함수의 최댓값과 최솟값 구하기 연습문제 프린트 학습지 고등 수학II > 도함수의 활용 > 정의역 구간이 있는 삼차함수의 최댓값과 최솟값 구하기 연습문제 프린트 학습지 삼차함수의 그래프를 그릴 수 있다면, 최댓값과 최솟값을 구하는 것은 어렵지 않아요. 제가 추천드리는 문제풀이 방법은 '그래프를 많이 그려라'입니다. 수학은 식과 그래프가 일대일대응 관계에 있고, 그래프를 그리는 것이 다양한 사고와 추론능력을 향상시키기 때문에 그래프를 많이 그리는 것이 중요해요. 특히 거꾸로 그래프가 나오는 문제에서 식을 구성하는 능력을 길러줄 수 있기 때문입니다.  그럼 문제를 풀어보면서, 삼차함수의 그래프에 대한 개념과 최댓값, 최솟값을 구하는 법에 대해 이야기하겠습니다. 함수 $f(x)$의 그래프를 그리기 위해 도함수 $f'(x)$의 식을 구합니다. $f'(x)=3x^2-..
고등 수학II > 도함수의 활용 > 곡선 밖의 한 점이 주어질 때, 접선의 방정식 구하기 연습문제 프린트 학습지 고등 수학II > 도함수의 활용 > 곡선 밖의 한 점이 주어질 때, 접선의 방정식 구하기 연습문제 프린트 학습지 곡선 밖의 한 점이 주어질 때, 삼차함수 또는 사차함수에 접하는 직선의 방정식을 구하는 문제를 풀어보겠습니다. 다음 문제를 보시면, 한 점이 $(0,-1)$로 주어졌는데요, 원래는 그래프까지 그리지 않고 풀 수 있지만 이해를 돕기 위해 곡선의 그래프와 한 점의 위치를 먼저 확인해볼게요.  위 그림에 나온 곡선 밖의 한 점 $(0,-1)$에서 몇 개의 접선을 그을 수 있을까요? 네, 1개 그을 수 있어요. 곡선 밖에 한 점의 위치에 따라서 2개 또는 3개의 접선도 그을 수도 있습니다. 이 문제에서는 1개의 접선을 그을 수 있는데요, 이렇게 그을 수 있는 접선의 개수가 왜 중요한지 아래 풀이에서 ..
고등 수학II > 도함수의 활용 > 기울기가 주어질 때, 접선의 방정식 구하기 연습문제 프린트 학습지 고등 수학II > 도함수의 활용 > 기울기가 주어질 때, 접선의 방정식 구하기 연습문제 프린트 학습지 삼차함수 또는 사차함수에 접하는 직선의 방정식을 구하는 문제를 풀어보도록 하겠습니다. 기울기가 주어진 직선은 아래와 같이 여러 개가 있을 수 있습니다.   기울기가 $m$으로 주어질 때 어떻게 접선의 방정식을 구하는지 직접 문제를 함께 보면서 이야기해보겠습니다. 먼저 함수 $y=f(x)$의 도함수 $y'=f'(x)$를 구하면,$y'=2x^2-6x+1$이고, 기울기가 1일 때의 x값을 구하면,$2x^2-6x+1=1$$2x^2-6x=0$$x^2-3x=0$$x(x-3)=0$$x=0$ 또는 $x=3$ 이렇게 $x$의 값이 2개가 나왔는데요, 이 $x$의 값이 무엇을 의미하는지를 해석하는 것이 가장 중요해요. 바..
고등 수학II > 도함수의 활용 > 곡선 위의 한 점이 주어질 때, 접선의 방정식 구하기 연습문제 프린트 학습지 고등 수학II > 도함수의 활용 > 곡선 위의 한 점이 주어질 때, 접선의 방정식 구하기 연습문제 프린트 학습지 도함수 $y=f'(x)$를 구하는 법을 배우고 난 다음 이것을 어디에 사용할지에 대한 도함수의 활용 단원이 있습니다. 도함수란 쉽게 말해 '기울기의 함수'입니다. 이미 배웠듯이 기울기를 알고 한 점을 알면 직선의 방정식을 구할 수 있습니다.  기울기가 $m$이고 한 점 $(x_{1},y_{1})$을 지나는 직선의 방정식$$(y-y_{1})=m(x-x_{1})$$ 그러므로 이와 같은 패턴으로 함수 $y=f(x)$ 위의 한 점 $(a,f(a))$에서의 접선의 방정식은 다음과 같습니다. $$(y-f(a))=f'(a)(x-a)$$$f'(a)$는 $x=a$에서의 접선의 기울기입니다.  이를 바탕으로 연..
고등 수학I > 삼각함수 > 호도법을 육십분법으로 바꾸기, 육십분법을 호도법으로 바꾸기 연습문제 프린트 학습지 고등 수학I > 삼각함수 > 호도법을 육십분법으로 바꾸기, 육십분법을 호도법으로 바꾸기 연습문제 프린트 학습지 호도법과 육십분법$1$라디안 = $\dfrac{180˚}{\pi}$,   $1˚=\dfrac{\pi}{180˚}$ 각의 표시하는 방법은 크게 2가지가 있는데요, 하나가 호도법, 또 하나가 육십분법이예요. 호도법은 라디안(radian)이라는 단위를 사용하는데요 보통 생략이 가능해요. 그래서 우리가 어떤 각의 크기를 볼 때, ˚ 표시가 없으면 라디안이 생략된 형식이라고 생각하면 되죠. 즉 호도법인거에요. 반대로 10˚,30˚,45˚, .. 처럼  ˚ 단위로 표현하는 것을 육십분법이라고 부릅니다.  호도법을 육십분법으로 바꾸는 간단한 예시를 살펴보면,  $\dfrac{1}{2}\pi \times{\d..
고등 수학(하) > 함수 > 두 일차함수 f(x), g(x)의 합성함수 g(f(x)) 또는 f(g(x)) 식 구하기 연습문제 프린트 학습 고등 수학(하) > 함수 > 두 일차함수 f(x), g(x)의 합성함수 g(f(x)) 또는 f(g(x)) 식 구하기 연습문제 프린트 학습 합성함수 두 함수 $f(x), g(x)$가 있을 때, 다음과 같이 나타내는 것을 합성함수라고 해요. $$f(g(x))$$보통 우리가 $f(x)$의 $x$에 정의된 값을 대입하면 함수값을 얻을 수 있는데요, 이때 $x$에 어떤 수를 함수식으로 넣을 때 우리는 합성함수를 만든다고 합니다. 엄밀하게 정의하기보다는 합성함수가 어떤 느낌의 식인지 그림으로 설명할까해요.  다음과 같은 함수가 있다고 할게요. 이렇게 함수 $f(x)$와 $g(x)$는 각자 자기 할일을 하고 있네요, 두 함수를 거치고 나면 그게 바로 합성함수값이 되는거랍니다. 위에서 든 예시처럼 $5$라는 수가 처음..
수학(하) > 집합과 명제 > 두 집합 A, B이 서로소일 때, 집합 B 구하기 연습문제 프린트 학습지 수학(하) > 집합과 명제 > 두 집합 A, B이 서로소일 때, 집합 B 구하기 연습문제개념 설명:집합은 주어진 조건을 만족하는 원소들의 모임입니다. 보통 집합을 대문자 알파벳으로 나타내며, 집합의 원소는 중괄호 { } 안에 표시합니다. 예를 들어, 집합 A가 {1, 2, 3}이라면, 이는 A가 1, 2, 3을 원소로 가진다는 것을 의미합니다.두 집합 A와 B가 서로소 (Disjoint)일 때, A와 B는 공통 원소를 가지지 않습니다. 즉, A와 B의 교집합이 공집합입니다. 이를 기호로 표현하면 $ A \cap B = \emptyset $ 입니다.예를 들어, 집합 A = {1, 2, 3}과 집합 B = {4, 5, 6}이 있을 때:$A \cap B = \emptyset$ 이므로, A와 B는 서로소입니다...
수학(상) > 도형의 방정식 > 원의 방정식을 일반형에서 표준형으로 변형하기 연습문제 프린트 학습 수학(상) > 도형의 방정식 > 원의 방정식을 일반형에서 표준형으로 변형하기 연습문제 프린트 학습 원의 방정식의 일반형일반형은 x, y 에 대한 이차식입니다. 일반형을 표준형으로 변형하는 이유는 원의 중심과 반지름을 알아보기 쉽게 만들기 위해서예요.  원의 방정식의 표준형원의 중심이 (a,b)이고 반지름이 r인 원의 방정식입니다. 일반형을 표준형으로 만드는 방법은 완전제곱식을 만드는거에요.  문제를 함께 풀면서 알아보겠습니다. 이 문제에서 x에 관한 완전제곱식, y에 관한 완전제곱식을 각각 완성하고 나머지 상수들은 우변으로 이항을 시키면 됩니다.아래는 풀이입니다.  지금까지 원의 방정식의 일반형을 표준형으로 바꾸는 이유와 방법에 대해서 살펴보았는데요,아래는 원의 방정식의 표준형을 만드는 문제를 만들어주는..

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