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고등 수학(상) > 이차부등식 > 이차부등식의 해 구하기 연습문제 프린트 학습지 고등 수학(상) > 이차부등식 > 이차부등식의 해 구하기 연습문제 프린트 학습지 이차부등식의 해를 구하는 방법1. 이차항의 계수가 양수가 되도록 양변에 수를 곱한다.2. 이차방정식으로 해석하여 해를 구한다. 1)해가 있는 경우이차부등식이 0보다 크면 바깥쪽, 0보다 작으면 사이로 해를 정한다.2)해가 없는 경우함수로 해석하여 푼다. 위 방법을 바탕으로 문제를 풀어보겠습니다.  1. 이차항의 계수가 양수이므로 따로 수를 곱하지 않는다. 2. $x^2+9x+18=0$으로 해석하여 해를 구하면, $(x+3)(x+6)=0$$x=-3$ 또는 $x=-6$3. 이차부등식$>0$이므로 큰 수보다 크거나 작은 수보다 작다. 이차부등식의 해는 $x-3$이다.  1. 이차항의 계수가 음수이므로 양변에 $-1$을 곱한다.$x..
중등 3학년 수학 > 삼각비 > 여러가지 모양의 직각삼각형의 삼각비 구하기 연습문제 프린트 학습지 중등 3학년 수학 > 삼각비 > 여러가지 모양의 직각삼각형의 삼각비 구하기 연습문제 프린트 학습지 삼각비를 처음 배울 때, 한 번씩 이런 경험한 적이 있을거에요. 특수각을 암기하고, 개념 문제를 풀면서 직각삼각형의 모양이 달리지면 $sin$을 써야할지, $cos$을 써야할지 헷갈릴 수 있는데요, 이런 도형의 모습인 경우는 크게 어렵지 않게 삼각비의 값을 표현할 수 있지만,  직각삼각형의 모양이 다른 모습을 가지는 경우에는 조금 혼동이 올 수 있어요. 단순히 $sin$은 올라갔다가 떨어지는 글자의 형태로 암기를 한 사람은 다음과 같은 오류를 범할 수 있어요. 이렇게 적용하면 안됩니다. 이런 문제를 해결하려면 다양한 문제를 풀어보면서 감을 잡아야 하는데요,  팁을 드리자면, 삼각비의 기준이 되는 각이 있는 ..
고등 수학(상) > 다항식의 연산 > 대표적인 곱셈공식의 변형 연습문제 프린트 학습지 고등 수학(상) > 다항식의 연산 > 대표적인 곱셈공식의 변형 연습문제 프린트 학습지 곱셈공식의 변형곱셈공식을 응용하는 식으로 등식의 성질을 이용하여 식의 일부분을 다양하게 변형한 식을 뜻합니다.  자주 나오는 곱셈공식의 변형 ①가령, 다음과 같은 곱셈공식이 있다고 하면, $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$우변의 $2ab$를 좌변으로 이항시키면,$(a+b)^2-2ab=a^2+b^2$와 같은 식이 됩니다. 이 유형의 문제는 다음과 같이 나오게 됩니다.  앞서 본 곱셈공식 변형식에 의하면, $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$이므로 주어진 $x+y=4$와 $xy=1$을 대입하면, $x^2+y^2=4^2-2\times{1}=14$가 됩니다.  자주 나오는 곱셈공식의 변형 ②$(x+y)^3=x^3+3x^2..
중등 2학년 수학 > 일차부등식 > 연립일차부등식이 해를 갖지 않도록 하는 a의 범위 구하기 연습문제 프린트 학습지 중등 2학년 수학 > 일차부등식 > 연립일차부등식이 해를 갖지 않도록 하는 a의 범위 구하기 연습문제 프린트 학습지 일차부등식 문제 중에서 많은 학생들이 헷갈려하고 혼동하는 문제 유형이 있습니다. 바로 미지수 $a$의 범위 구하기 문제인데요, 문제를 풀면서 설명하도록 하겠습니다.  문제)풀이)먼저 각각의 일차부등식의 해를 구하면,첫번째 부등식은$2x-2≥-x+5$$2x+x≥5+2$$3x ≥7$$x ≥\dfrac{7}{3}$두번째 부등식은$x-a>4(x-1)$$x-a>4x-4$$x-4x>-4+a$$-3x>-4+a$$x$x입니다. 수직선 위에 첫번째 일차부등식의 해를 나타내면 다음과 같습니다. 이때, 두번째 일차부등식의 해가 첫번째 일차부등식의 해와 공통 부분이 생기면 연립일차부등식의 해가 존재하고, 반대로..
중등 1학년 수학 > 정비례와 반비례 > 삼각형의 넓이를 이등분하는 정비례 관계식 구하기 연습문제 프린트 학습지 중등 1학년 수학 > 정비례와 반비례 > 삼각형의 넓이를 이등분하는 정비례 관계식 구하기 연습문제 프린트 학습지 위 문제에서 삼각형의 넓이를 이등분하려면 $y=ax$의 그래프가 반드시 지나야하는 점이 있습니다. 그건 바로 빗변의 중점입니다. 빗변이란 직각삼각형에서 가장 긴 변을 말하는데요, 빗변의 중점은 어떻게 찾을 수 있을까요?우선 빗변을 만들어내고 있는 직선을 잘 보시면, $x$축과 $4$에서 만나고, $y$축과 $8$에서 만난다는 것을 알 수 있습니다. 이들을 각각 이등분한 위치를 이용하는 것입니다. 그런데 정말로 삼각형이 이등분되는게 맞을까요? 아래를 보시면, 왼쪽의 삼각형의 넓이는 밑변이 $8$, 높이가 $2$인 삼각형으로 볼 수 있으며 넓이는 $8$입니다. 오른쪽의 삼각형의 넓이는 밑변이 $4..
중등 1학년 수학 > 정비례와 반비례 > 정비례의 개념과 그래프 연습문제 프린트 학습지 중등 1학년 수학 > 정비례와 반비례 > 정비례와 반비례의 개념과 그래프 연습문제 프린트 학습지 정비례$x$의 값이 $2$배, $3$배, $4$배, $\cdots$일 때, $y$의 값도 $2$배, $3$배, $4$배, $\cdots$가 되는 관계 또는 관계식입니다.정비례처럼 보이지만 정비례가 아닌 경우는 $x$의 값이 증가할 때, $y$의 값이 증가하지만 정확히 '정'비례하지 않은 경우입니다. 가령, $x$의 값이 $2$배, $3$배, $4$배가 될 때, $y$의 값이 $4$배, $9$배, $16$배와 같이 제곱을 한만큼 늘어나면, 둘다 증가하지만, '정'비례는 아닙니다. 반비례$x$의 값이 $2$배, $3$배, $4$배, $\cdots$일 때, $y$의 값도 $\dfrac{1}{2}$배, $\dfrac..
고등 수학(상) > 다항식의 계산 > 곱셈공식 효율적으로 외우기, 개념 연습문제 프린트 학습지 고등 수학(상) > 다항식의 계산 > 곱셈공식 효율적으로 외우기, 개념 연습문제 프린트 학습지 곱셈공식은 다항식의 연산을 쉽고 빠르게 하기 위하여 몇가지 유형별로 정리한 것입니다. 처음 등장은 중3 1학기인데요, 인수분해를 배우기 전에 곱셈공식을 먼저 배웁니다. 고등학교 1학년 1학기 다항식의 연산에서 다시 인수분해가 나오는데요, 곱셈공식이 몇 개 추가되어서 거의 10개에 가까워지죠.그래서 많은 학생들이 곱셈공식이 너무 많아서 수학은 역시 공식이고 암기야! 라고 오해하기도 한답니다. 그런데 사실은 절반은 외우지 않아도 되는 공식이에요. 대략 5개만 외우면 됩니다.  자 그럼 시작해볼게요. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$이 공식을 많이 보셨을텐데요, 이 공식에서..
중등 1학년 수학 > 유리수의 계산 > 유리수의 덧셈, 뺄셈, 나눗셈, 거듭제곱 혼합 연습문제 프린트 학습지 중등 1학년 수학 > 유리수의 계산 > 유리수의 덧셈, 뺄셈, 나눗셈, 거듭제곱 혼합 연습문제 프린트 학습지 유리수의 혼합 계산 문제를 풀어보도록 하겠습니다. 혼합 계산의 순서는 소괄호 → 중괄호 → 곱셈과 나눗셈 → 덧셈과 뺄셈 입니다. 위 식을 계산해보면, $\{2-(3-5)\}\div{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2}$$=\{2-(-2)\}\div{\dfrac{1}{4}}$$=(2+2)\times{4}$$=4\times{4}=16$ 이 문제에서 체크해야할 부분은 2가지인데요, 첫째, '나눗셈' → '곱셈'으로 바꾸고, 뒤의 수를 역수로 만드는 것입니다. 둘째, 거듭제곱을 할 때, 괄호안의 부호가 $+$가 되는지 아니면 $-$가 되는지는 지수가 짝수인지 홀수인지에 달려있다는 것입니..