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고등 수학II > 도함수의 활용 > 사차함수의 최댓값과 최솟값 구하기 연습문제 프린트 학습지 고등 수학II > 도함수의 활용 > 사차함수의 최댓값과 최솟값 구하기 연습문제 프린트 학습지 사차함수의 그래프를 그릴 수 있으면 최댓값과 최솟값을 구하는 문제도 동시에 해결이 되는데요,사차함수의 그래프의 개형에 대해 알아보고 위 함수 $f(x)$의 그래프를 그려보도로 할게요.  사차함수의 개형사차함수의 개형은 크게 4가지가 있습니다. 그 기준은 사차함수 $f(x)$를 미분한 $f'(x)$이 $x$축과 만나는 점이 몇 개인지에 달려있어요.  $f'(x)=0$ 방정식의 해의 종류 → 사차함수의 개형 4가지를 결정사차함수를 미분한 함수 $y=f'(x)$는 삼차함수이고, $f'(x)=0$은 삼차방정식이에요. 개형을 하나씩 살펴보도록 할게요.  사차함수의 개형1)$f'(x)=0$이 서로 다른 세 실근을 가질 때,..
고등 수학II > 도함수의 활용 > 삼차함수의 최댓값과 최솟값 구하기 연습문제 프린트 학습지 고등 수학II > 도함수의 활용 > 삼차함수의 최댓값과 최솟값 구하기 연습문제 프린트 학습지 삼차함수의 최솟값과 최댓값을 구하는 문제 유형은 삼차함수의 그래프를 그릴 수 있으면 해결할 수 있는데요, 이 글에서는 삼차함수의 그래프의 개형의 종류와 극대 극소를 찾는 방법을 공부하고, 이를 통해 삼차함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제를 풀어보겠습니다.  삼차함수의 개형 삼차함수의 개형은 크게 3가지가 있어요. 삼차함수 $y=f(x)$의 도함수인 $y=f'(x)$는 이차함수인데요,  $f'(x)=0$는 이차방정식이며, 이차방정식의 해의 종류가 곧 삼차함수의 그래프 개형을 결정해요.  삼차함수의 개형1) 삼차함수의 개형2) 삼차함수의 개형3) 그럼 문제를 풀어보도록 할게요.  함수를 미분하고, $f(x)=0$을..
중등 2학년 수학 > 다항식의 계산 > 다항식의 덧셈과 뺄셈, 곱셈과 나눗셈 연습문제 프린트 학습지 중등 2학년 수학 > 다항식의 계산 > 다항식의 덧셈과 뺄셈, 곱셈과 나눗셈 연습문제 프린트 학습지 다항식다항식이란 항이 1개 또는 2개 이상인 식을 말합니다. 항이 1개인 경우 보통 단항식이라 부르는데, 다항식으로 부를 수도 있습니다.  다항식의 덧셈과 뺄셈다항식의 덧셈과 뺄셈은 기본적으로 동류항의 계수를 더하여 정리하는 건데요, 문제를 하나 풀어보겠습니다. $A-B=(-x^2-x)-(-2x^2+2x)$$=-x^2-x+2x^2-2x$$=x^2-3x$입니다.  다항식의 덧셈과 뺄셈은 기본적으로 '덩어리로 된 식'에 대한 개념이 필요해요. 위에서 제시된 다항식 A, 다항식 B라는 것이 덩어리로 된 식을 하나의 문자로 치환하는 방식을 사용하고 있는데요, 다항식의 연산에서는 이러한 식을 덩어리로 보는 연습을 ..
중등 3학년 수학 > 삼각비 > 여러가지 모양의 직각삼각형의 삼각비 구하기 연습문제 프린트 학습지 중등 3학년 수학 > 삼각비 > 여러가지 모양의 직각삼각형의 삼각비 구하기 연습문제 프린트 학습지 삼각비를 처음 배울 때, 한 번씩 이런 경험한 적이 있을거에요. 특수각을 암기하고, 개념 문제를 풀면서 직각삼각형의 모양이 달리지면 $sin$을 써야할지, $cos$을 써야할지 헷갈릴 수 있는데요, 이런 도형의 모습인 경우는 크게 어렵지 않게 삼각비의 값을 표현할 수 있지만,  직각삼각형의 모양이 다른 모습을 가지는 경우에는 조금 혼동이 올 수 있어요. 단순히 $sin$은 올라갔다가 떨어지는 글자의 형태로 암기를 한 사람은 다음과 같은 오류를 범할 수 있어요. 이렇게 적용하면 안됩니다. 이런 문제를 해결하려면 다양한 문제를 풀어보면서 감을 잡아야 하는데요,  팁을 드리자면, 삼각비의 기준이 되는 각이 있는 ..
고등 수학(상) > 다항식의 연산 > 대표적인 곱셈공식의 변형 연습문제 프린트 학습지 고등 수학(상) > 다항식의 연산 > 대표적인 곱셈공식의 변형 연습문제 프린트 학습지 곱셈공식의 변형곱셈공식을 응용하는 식으로 등식의 성질을 이용하여 식의 일부분을 다양하게 변형한 식을 뜻합니다.  자주 나오는 곱셈공식의 변형 ①가령, 다음과 같은 곱셈공식이 있다고 하면, $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$우변의 $2ab$를 좌변으로 이항시키면,$(a+b)^2-2ab=a^2+b^2$와 같은 식이 됩니다. 이 유형의 문제는 다음과 같이 나오게 됩니다.  앞서 본 곱셈공식 변형식에 의하면, $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$이므로 주어진 $x+y=4$와 $xy=1$을 대입하면, $x^2+y^2=4^2-2\times{1}=14$가 됩니다.  자주 나오는 곱셈공식의 변형 ②$(x+y)^3=x^3+3x^2..
중등 2학년 수학 > 일차부등식 > 연립일차부등식이 해를 갖지 않도록 하는 a의 범위 구하기 연습문제 프린트 학습지 중등 2학년 수학 > 일차부등식 > 연립일차부등식이 해를 갖지 않도록 하는 a의 범위 구하기 연습문제 프린트 학습지 일차부등식 문제 중에서 많은 학생들이 헷갈려하고 혼동하는 문제 유형이 있습니다. 바로 미지수 $a$의 범위 구하기 문제인데요, 문제를 풀면서 설명하도록 하겠습니다.  문제)풀이)먼저 각각의 일차부등식의 해를 구하면,첫번째 부등식은$2x-2≥-x+5$$2x+x≥5+2$$3x ≥7$$x ≥\dfrac{7}{3}$두번째 부등식은$x-a>4(x-1)$$x-a>4x-4$$x-4x>-4+a$$-3x>-4+a$$x$x입니다. 수직선 위에 첫번째 일차부등식의 해를 나타내면 다음과 같습니다. 이때, 두번째 일차부등식의 해가 첫번째 일차부등식의 해와 공통 부분이 생기면 연립일차부등식의 해가 존재하고, 반대로..
중등 1학년 수학 > 정비례와 반비례 > 삼각형의 넓이를 이등분하는 정비례 관계식 구하기 연습문제 프린트 학습지 중등 1학년 수학 > 정비례와 반비례 > 삼각형의 넓이를 이등분하는 정비례 관계식 구하기 연습문제 프린트 학습지 위 문제에서 삼각형의 넓이를 이등분하려면 $y=ax$의 그래프가 반드시 지나야하는 점이 있습니다. 그건 바로 빗변의 중점입니다. 빗변이란 직각삼각형에서 가장 긴 변을 말하는데요, 빗변의 중점은 어떻게 찾을 수 있을까요?우선 빗변을 만들어내고 있는 직선을 잘 보시면, $x$축과 $4$에서 만나고, $y$축과 $8$에서 만난다는 것을 알 수 있습니다. 이들을 각각 이등분한 위치를 이용하는 것입니다. 그런데 정말로 삼각형이 이등분되는게 맞을까요? 아래를 보시면, 왼쪽의 삼각형의 넓이는 밑변이 $8$, 높이가 $2$인 삼각형으로 볼 수 있으며 넓이는 $8$입니다. 오른쪽의 삼각형의 넓이는 밑변이 $4..
중등 1학년 수학 > 정비례와 반비례 > 정비례의 개념과 그래프 연습문제 프린트 학습지 중등 1학년 수학 > 정비례와 반비례 > 정비례와 반비례의 개념과 그래프 연습문제 프린트 학습지 정비례$x$의 값이 $2$배, $3$배, $4$배, $\cdots$일 때, $y$의 값도 $2$배, $3$배, $4$배, $\cdots$가 되는 관계 또는 관계식입니다.정비례처럼 보이지만 정비례가 아닌 경우는 $x$의 값이 증가할 때, $y$의 값이 증가하지만 정확히 '정'비례하지 않은 경우입니다. 가령, $x$의 값이 $2$배, $3$배, $4$배가 될 때, $y$의 값이 $4$배, $9$배, $16$배와 같이 제곱을 한만큼 늘어나면, 둘다 증가하지만, '정'비례는 아닙니다. 반비례$x$의 값이 $2$배, $3$배, $4$배, $\cdots$일 때, $y$의 값도 $\dfrac{1}{2}$배, $\dfrac..